思考练习
1、在10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 5
2、如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF， CD∥FA，且BC－E＝ED－AB＝FA－CD＜0，求该六边 形的六个角度数．
3、在梯形ABCD在中，AB∥CD，AC＝BC，且 AC⊥BC，AB＝BD，AC、BD交于点E，
求证：ΔADE为等腰三角形．
4、在梯形ABCD在中，AD∥BC，∠B＝30， ∠C＝60，点E、M、F、N分别是AB、BC、CD、 DA的中点，已知BC＝7，MN = 3，求EF.
00A B
F
E
C D C E A D E C N M A D B
F B 05、在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，对角线AC与BD交于点O，∠ACD＝60，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点，(1) 求证：ΔPQS是等边三角形；(2) 若AB＝5，CD＝3，求ΔPQS的周长.
6、在梯形ABCD中, AD∥BC（BC＞AD）, ∠D＝90, BC?CD?12,?ABE?45,若AE =10，求CE的长．
答案提示
1、多边形的所有外角之和为360?，故外角中的钝角的个数不能超过3个，从而知，内角中的锐角最多不能超过3个，选C．
2、过点A、C、E分别作BC、ED、FA的平行线，交于点O、P、Q，证ΔOPQ为等边三角形，得六边形的六个角都等于120．
3、过C、D作AB的垂线，易得∠ABD＝30，可得∠ADB＝∠AED＝75，
4、延长CD和BA，交于G，则∠BGC＝90，连GM，则点G、M、N三点成一直线，GN＝3.5，故GM＝0.5，从而AD＝1，EF＝4。
5、由条件易见，ΔOCD和ΔOAB是等边三角形，(1)连结CS，则CS⊥BD，在RtΔBCS
000000 48
中,SQ＝
1111BC，同理，PQ＝BC，又SP＝AD＝BC，∴SQ＝PQ＝SP，ΔPQS是等边三角2222形.(2)AC＝8，作CE⊥AB于E，则CE＝43，BC?CE2?BE2＝7，故SQ＝3.5，ΔPQS的周长为10.5
6、延长DA至M，使BM⊥BE，过B作BG⊥AM于G，易知四边形BCDG为正方形，所以BC＝BG，又∠CBE＝∠GBM，∴RtΔBEC≌RtΔBMG，∴BM＝BE，∠ABE＝∠ABM＝45，
E ∴ΔABE≌ΔABM，AM＝AE＝10，设CE＝x，则AG＝10－x，AD＝12―（10―x）＝2－x，在RtΔADE中，
C B
0D A
G M AE2?AD2?DE2，
∴100?(x?2)2?(12?x)2，即 x?10x?24?0，解得x1?4，x2?6．
226、面积问题
例题讲解
例1 在ΔABC中, D是边BC上的一点, 已知AC?5,
A H B D
C
AD?6，BD?10，CD?5，求ΔABC的面积。
解：过D作CH⊥AD于H, 因为ΔACD是等腰三角形, 所以, 在RtΔCHD中, CD＝5, DH＝3, 则CH＝4, 有S?ACD?12，
S?ABD?2S?ACD?24．S?ABC?S?ABD?S?ACD?36
例2 已知，E、F分别是矩形ABCD的边BC和CD上一点，若ΔCEF，ΔABE，ΔADF的面积分别为3，4，5，求ΔAEF的面积。
解：连结AC，设ΔAEC，ΔCAF的面积分别为
B E
F C A D x,y，则x?4?y?5即x?y?1，因为
x?4BC? xECyADx?4y??，解得 x?6,y?5， AD = BC所以3ECx3所以S?AEF?x?y?3?8．
例3 在ΔABC中 已知BD和CE分别是AC、 AB上的中线 并
E
49
A D
B C
且BD⊥CE ，BD = 4 ,CE =6, 求ΔABC的面积。
解: 连DE, 则S四边形BCDE?有, S?ABC?1BD?CE?12, DE是中位线， 244S四边形BCDE??12?16 33例4 设点EFGH分别在面积而1的四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上, 且
AEBFCGDH????k(k是正数), 求四边形EFGH的面积. EBFCGDHA解：连结AC，过点G作GP∥AC 交DH于点P，有
D P H A B
G C F
DPDGCGDH???k， ， 由已知 DADCGDHADHkDPDG1???则 ， 于是有 DAk?1DADCk?1从而
S?DHGDH??k, 又由于ΔDPG∽ΔDAC，
S?DPGDPE
有
S?DPGS?DHGk1k，故 ，因此，S?S?DAC ???DHG222S?DAC(k?1)S?DAC(k?1)(k?1)kS?BAC，两式相加，得 2(k?1)kkk (S?S)?S??DAC?BACABCD(k?1)2(k?1)2(k?1)2k， 2(k?1)2kk2?1 ?S?DHG)?1??22(k?1)(k?1)同理 S?BEF?S?DHG?S?BEF?连结BD，同理可证S?AEH?S?CFG?∴SEFGH?SABCD?(S?AEH?S?BEF?S?CFG思考练习
1、ΔABC的周长是24, M是AB的中点, MC＝MA＝5, 求ΔABC的面积．
2、在梯形ABCD中, AB∥CD, AB = 8, BC =62, ?BCD?45, ?BAD?120, 求梯形ABCD的面积．
3、已知一个梯形的四条边的长分别是1、2、3、4, 求此梯形的面积．
4、在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，DF ：FC = 1 ：1，CE ：EB = 2 ：1，若ΔADF的面积为m， 四边形AECF的面积为n，（n＞m）求四边形ABCD的面积．
5、已知正方形ABCD的面积为35， E、F分别为边AB、BC上的点，AF、CE相交于G，
00 50
并且ΔABF的面积为5，ΔBCE的面积为14，求四边形BEGF的面积．
6、点E、F分别是矩形ABCD的边AB与BC的中点，连AF、CE，交于点G，求四边形AGCD与矩形ABCD的面积比．
7、在ΔABC中, DE∥AB∥FG, 且FG到DE、AB的距离之比为1: 2. 若ΔABC的面积为32, ΔCDE的面积为2, 则ΔCFG的面积等于( ) (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12
答案提示
1、由MC＝MA＝MB＝5知?ABC?90，又由ΔABC的周长是24, 且斜边AB＝10, 故BC＋CA＝14, 且BC?CA?10, ∴2BC?CA?(BC?CA)2?(BC?CA)2
2220?142?102?24，故S?ABC?24．
2、A、B分别作AE⊥CD于E, BF⊥CD于F , 在RtΔBFC中, BC =62, ?BCD?45, 则BF = FC = 6. 在RtΔAED中,AE = 6, ?DAE?30, 则DE?23, 所以CD = 14?23, 故S梯形ABCD?001(8?14?23)?6?663. 23、以1、2、3、4为边作梯形, 按底边分类有六种可能: (1)以1、2为底; (2) 以1、3为底; (3) 以1、4为底; (4) 以2、3为底; (5) 以2、4为底; (6) 以3、4为底;易知,只有(3)才能构成梯形, 在
梯形ABCD中, AB＝3, BC＝4, CD＝2DA＝1, 过点A作AH⊥BC于H,作AE∥CD交BC于E, 则
11?AE?2ΔBAE为等腰三角形, 由BE?AH?S?ABE?AEAB???得
22?2? AH?222242102, 所以 S梯形ABCD?． 3?1?3334、连AC，则
S?ACFCFSBE1??1 ?ABE??, S?ACF?S?ADF?m S?ADFDFS?CAECE211S?CAE??n?m? 22SCAE?S四边形AECF?S?CAF?n?m, S?ABE? S四边形ABCD?m?n?1?n?m??1m?3n． 222D C 5、连结BG，记ΔAGE面积为a，ΔEGB面积为b，ΔBGF面
积为c，ΔFGC面积为d
G
51
F B
A E
BFS?ABF52?a?b?c?5BE4??? 同理? 则?BCS?ABC17BA5?b?c?d?14 ?352aAE1dFC515??，??，所以 a?b,d?c. bBE4cBF242
18??5b?b?c?5??12827，故 S?b?c? 代入得 ?4 解得?． BEGF710027?b?c?14?c?27?2?16、连结AC，则G是ΔABC的重心，所以 S?AGC?S?ABC
3因为
从而 S四边形AGCD??1???1?4?S?ABC?S?ABC 3?3D G A E
C F B
所以
S四边形AGCDS矩形ABCD4S?ABC2?3?. 2S?ABC37、选（B）∵
CD?CAS?CDEFD1FD121?，所以 ?， ??，又由题设知FA2AD3S?CAB3242S11131?1?FD?AD??AC?AC，故FD?DC，于是 ?CDE????， S?CFG?8．
S?CFG?2?43344
27、 比例线段
例题讲解
例1：在ΔABC中，BD＝DC，E为AB上任意一点，CE交AB于F， 求证：
A E
F B
D
M C
AF2AE?. FDBEAFAE?证明：过D作DM∥AB，交CE于M，则， FDDM1AF2AE?∵BD＝DC，∴CM＝ME，又DM＝BE， ∴
2FDBEAD?AB于E，连CE交AD于F，求△AFE的面积．
解：作FG⊥AB于G，则FG∥DE∥AC 于是
例2 直角三角形ABC的面积为120，且?BAC?90?，AD是斜边上的中线，过点D作
FGEGFGFGAG? ， ??1ACAEDEAEAC252
C
D
F A
B E G