两式相加，得 所以 FG?故S?AFE?3FGAG?EGAE???1, ACAEAE1AC 31111AE?FG??AB?AC?20 2223A
E D F 思考练习
1、 梯形ABCD中，AB∥DC，E是DC的 中点，直线BE交AC于F，交AD的延长线于G， 求证：EF?BG?BF?EG
2、在正方形ABCD中，A、E、F、G在同一 直线上，并且AE = 5cm，EF = 3cm，求FG的长。
3、工地上竖立着两根电线杆AB、CD, 它们相距15cm, 分别自两杆高出地面4m, 6m,的A、C处, 向两侧地面上的E和D, B和F点处, 用钢丝绳拉紧, 以固定电线杆, 那么钢丝绳AD和BC的交点P离地面的高度是多少。
4、在RtΔABC中，两条直角边AB、AC的长分别为1cm、2cm，那么，直角的角平分线的长度等于多少。
C
A P D
F
E
A B D
C
B G C
E B
5、设ΔABC的面积为1，D是边AB上一点，且边形DECB的面积为
答案提示 1、∵AB∥DC，∴
AD1?，若在边AC上取一点E，使四AB33CE，求的值． 4EAEFECEDEG???， BFABABBGAEEG16AE225??2、由条件得， EG?， FG?EG?EF? EFAE3EF33、作PQ⊥EF于Q, 设BQ = x , QD = y, PQ = h,由AB∥PQ∥CD, 得
5hhyhx?1, 则h = 2.4m, 即点P离地面高度为2.4m. ?，?两式加, 得124x?y6x?y4、过B作BE∥DA交CA延长线于E，则∠EBA＝∠BAD＝45，得BE=2
53
0ADAC22231??， 故 AD?EB?2． 5、连结BE，S?ADE?1??，EBCE33344CE1?x11CE1?x，则S?ABE?1?x，S?ADE??，x?，? 设AC344EA3由
28、相似三角形
例题讲解
例1 已知D是ΔABC的BC边上一点，且∠ACD＝∠B，求证：AC?AD?AB 证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴ΔACD∽ΔABC，
∴
C 2ACAD?， ABAC2A
∴AC?AD?AB.
0D
B
例2 在ΔABC中，∠ABC＝60，点P是ΔABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，求PB的长.
解: ∠APB＝∠BPC＝∠CPA?120， ∠PAB＝60－∠PBA＝∠PBC，∴ΔPAB∽ΔPBC 从而
00A PAPB? 即PB?PA?PC?43 PBPCB
C
思考练习
1、在ΔABC中，D是边AC上一点, 下列四种情况 中, 不能使ΔABD ∽ ΔACB成立的情况是（ ）
2(A)AD?BC?AB?BD (B)AB?AD?AC
F
E
A
C
(C) ?ABD??ACB (D)AB?BC?AC?BD
2、已知直角ΔABC（AC＞BC）的斜边AB的中点为D过D作AB的垂线交AC于E，交BC的延长线于F，连结DC， 求证：DC?DE?DF
3、如图, 若PA = PB, ∠APB =2∠ACB, AC与PB交于点D,且PB = 4, PD =3, 求AD?DC.
4、ΔABC的三边长为a、b、c, 且求证：∠B＝2∠A .
54
2D
B
P C D A
aa?b?, ba?b?cB
A
M
D N
T O
5、在正方形ABCD中, , N是DC的中点, M是AD上异 于D的点, 且∠NMB＝∠MBC, 求tan∠ABM
6、将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转
M
B/
N
600至AB'C'D'的位置，求这两个正方形重叠部分的面积．
答案提示
D C
A
D/
1、因为由(B)(C)都能得出ΔABD∽ΔACB, 因此可将(B)(C)排除掉.对于(A), 分别作BE⊥AC于E, DF⊥AB于F, 则DF = ADsinA, BE = ABsinA, 由AD?BC?AB?BD得
DF?BC?BE?BD，∴RtΔBDF ∽ RtΔCBE, ∴∠ABD＝∠ACB, ∴ΔABD ∽ ΔACB ，
故排除(A), 选(D).
3、延长BP到Q, 使PQ = PB = 4, 连AQ, ∵PQ= PB = PA, ∴∠APB =2∠AQD, ∠APB =2∠ACB，∴∠AQD =∠ACB，又∠ADQ = ∠BDC，ΔADQ∽ΔBDC,
ADDQ? ，故 AD?DC?BD?DQ?7. BDDCaa?bab4、由?得?延长CB到D, 使BD = AB = c, 则CD = a?c
ba?b?cba?cBCAC?在ΔABC和ΔDAC中, ， 又∠C公用, ∴ΔABC∽ΔDAC, ACEC从而得
从而∠BAC = ∠D = ∠BAD, ∴∠ABC = ∠D + ∠BAD = 2∠D = 2∠BAC.
5、延长MN交BC的延长线于T, 设MB的中点为O, 连结TO, 则ΔBAM∽ΔTOB. 所以
AMOB22?, 即 MB?2AM?BT, 在直角三角形BAM中, BM?4?(2?k) MBBT422又BT?2?k, 所以4?(2?k)?2(2?k)(2?k)，解得 k?, 从而 AM?,
33AM1?. 所以 tan?ABM?AB36、过B作MN∥AD，分别交CD、AB于M、N，设BC交CD于K，则
'''B'N?AB'sin600?331'，所以 BM?1?,AN?，又Rt?AB'K≌Rt?ADK，所以22255
?KAB'＝?KAD?150，AD?AB'.??ADB'??AB'D?750，则?MDB'?150
DKADAD?MB'?ADK∽?DMB，?,DK??2?3，S?2S?ADK?2?3. 'DMMBDM'
29、圆
例题讲练
例1 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P在线段AD上, 求满足条件∠BPC＝90的点P的个数.
解: 因为AB +CD = 1999 = AD, 所以梯形的中位线等于腰BC的一半, 故以BC为直径的圆与AD的一个交点恰为AD的中点, 即AD的中点对BC张成的角为直角. 又在AD上取点Q, 使AQ = AB, DQ = DC, 由ΔABQ和ΔDCQ都是等腰三角形, 知Q对BC成90角. 注意到以BC为直径的圆与AD至多有两个交点, 可知所求的点数为2 .
例2 已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O, 对角线AC是直径, AC与BD相交于点P, AB = BD, 且PC = 0.6, 求四边形ABCD的周长.
解: 连结BO并延长交AD于H, 因为AB = BD, O是圆心, 所以BH⊥AD, 又因为∠ADC＝90, 所以BH∥CD, 从而
000B A O H D C
CDCPCD0.6?, ? 故 CD = 1 BOPO1.51.5?0.611于是 AD?AC2?CD2?9?1?22， 又OH?CD?
22ΔOPB∽ΔCPD，所以 AB?AH2?BH2?2?4?6
BC?AC2?AB2?9?6?3，四边形ABCD的周长为1?22?3?6.
例3 设ΔABC是直角三角形, 点D在斜边BC上, BD = 4DC, 已知圆过点C且与AC相交于F, 与AB相切于AB的中点G，求证: AD⊥BF.
证明: 过D作DE⊥AC于E, 则
A G
F E C D
55AE，AG?ED， 4252∵AG?AF?AC?AF?AE，
4AC?B
56
255ED2?AF?AE， 即5ED2?AF?AE 44 ∴AB?ED?AF?AE，故ΔBAF∽ΔAED ∠ABF＝∠DAE,
而∠EAD +∠DAB = 90，∴∠ABF +∠DAB = 900, 故 AD⊥BF.
例4 如图, 已知P是⊙O外一点, PS、PT是⊙O的两条切线, 过点P作⊙O的割线PAB,交⊙O于A、B两点, 与ST交于点C, 求证：
011?11????? PC2?PAPB?S P 证明：过P作PH⊥ST，则H是ST的中点，
A T C H
PC2?PH2?CH2?PS2?SH2?CH2
?PS2?(SH?CH)(SH?CH)?PS2?SC?CT
22又PC?PS?SC?CT?PA?PB?AC?CB
B
?PA?PB?(PC?PA)(PB?PC)?2PA?PB?(PA?PB)PC?PC2
∴(PA?PB)PC?2PA?PB, ∴
例5 圆O1与圆O2外切于点A,两圆的一条外公切线与圆O1相切于点B, 若AB与两圆的另一条外公切线平行, 求圆O1与圆O2的半径之比.
解: 由AB∥CD, 且O1C⊥CD, ∴O1C⊥AB.
于是?CO1B??CO1A, 由对称性知?CO1A??BO1A，
从而 ?CO1B??CO1A??AO1B?120，∴?O2O1E?120?90?30， ∴O1O2?2O2E,即r1?r2?2(r2?r1)，∴r1:r2 = 1: 3
思考练习
1、点A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，求ΔABC的面积.
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000011?11????? PC2?PAPB?D
C O1 B
A O2