二、 第一抽屉原理：把（mn+1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至少有（m+1）个物体。
第二抽屉原理：把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
1、基本型
将 n+1个苹果 任意放到 n 个抽屉 中,至少有一个抽屉中有不少于 2个苹果(即至少有 2个苹果在同一个抽屉中) 2、加强型
将 m 个苹果 任意放到 n 个抽屉 中(m>n) , (1)m÷n是整数,至少有一个抽屉中的苹果不少于 m÷n个; (2)m÷n有余数,至少有一个抽屉中的苹果不少于[m÷n]+1个,即“m÷n的商再加 1”个。
注:基本型其实是加强型中的一种特殊形
式。
三、做题关键——如何找抽屉和苹果
想象抽屉原理的场景,即把 2个苹果放进 相同 的一个抽屉里。那么具体到题中重点体会是把 “谁谁谁”放进 相同 的什么东西里。相同的这个东西就是抽屉, “谁”和“谁”就是苹果。
注意:找抽屉的个数时往往考察到同学们的计数知识。对于简单的用枚举法,对于稍微复杂 的要会熟练运用加乘原理。 四、答题步骤
1、说明什么是抽屉,什么是苹果,以及各自的数量 2、抽屉原理的结论——“根据抽屉原理,至少……” 3、回答题目问题——“即……
五、常见题型 1、考察存在性
例 1:雷锋小组由
13人,张老师说:“你们这个小组至少有 2个人在同一个
月过生日。 ”你知 道为什么张老师这么说吗?
解析 :结论是“至少有 2个人在同一个月过生日” 。即把 2个人放进同一个月里。那么“月” 就是抽屉,人就是苹果。
答:将月份看做抽屉,一年共有 12个月,将人看做苹果,共有 13人。将每人根据生日对应 的月份放进相应的“抽屉”中。根据抽屉原理,至少有 2个苹果
在同一个抽屉中,即至少有 2个人在同一个月过生日。
例 2
在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个,小聪明和其他六个小朋友
在一起做游戏, 每人可以从口袋中随意取出 2个球,那么不管怎样挑选,总有两个小朋友取出的两个球的颜 色完全一样。你能说明为什么吗?
解析:结论是“总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样” 。一样的东西是抽屉, “两个
球的颜色”就是抽屉。那么“取法”就是抽屉,人就是苹果。
答:从三种颜色的球中挑选 2个球,取法共有 6种:红红、黄黄、蓝蓝、红黄、红蓝、黄蓝。 将这 6种取法看做抽屉,7个小朋友看做苹果。根据抽屉原理,至少有 2个苹果在同一个抽屉 中,即至少有 2个小朋友取出的两个球的颜色完全一样。
浅谈抽屉原理问题解题技巧
桌上有十个苹果, 要把这十个苹果放到九个抽屉里, 无论怎样放, 我们会发 现至少会有一个抽屉里面放两个苹果 [是“至少两个苹果”吧? ]。 这一现象就是 我们所说的“抽屉原理”。 抽屉原理的一般含义为:如果每个抽屉代表一个集合, 每一个苹果就可以代表一个元素, 假如有 n+1或多于 n+1个元素放到 n 个集合中 去,其中必定至少有一个集合里有两个元素 [这个定义是有问题的。苹果的问题 还可以认为抽屉不能空, “多于 N+1个元素在 n 个集合中必定有两个元素的集合” 无论集合空不空肯定是不对的。应该也是“至少两个元素”]。它是组合数学中 一个重要的原理 [这一段应该是百度百科里的内容。但是注意百科左边的图片里 也是“至少有 2个苹果”
一.基础题型
【浅谈抽屉原理问题解题技巧
桌上有十个苹果, 要把这十个苹果放到九个抽屉里, 无论怎样放, 我们会发 现至少会有一个抽屉里面放两个苹果 [是“至少两个苹果”吧? ]。 这一现象就是 我们所说的“抽屉原理”。 抽屉原理的一般含义为:如果每个抽屉代表一个集合, 每一个苹果就可以代表一个元素, 假如有 n+1或多于 n+1个元素放到 n 个集合中 去,其中必定至少有一个集合里有两个元素 [这个定义是有问题的。苹果的问题 还可以认为抽屉不能空, “多于 N+1个元素在 n 个集合中必定有两个元素的集合” 无论集合空不空肯定是不对的。应该也是“至少两个元素”]。它是组合数学中 一个重要的原理 [这一段应该是百度百科里的内容。但是注意百科左边的图片里 也是“至少有 2个苹果”
一.基础题型
【例 1】从一副完整的扑克牌中至少抽出()张牌才能保证至少 6张牌的花 色相同? A.21B.22 C.23D.24
解析:题目要求保证:6张牌的花色相同 . 考虑最不利情形:每种花色取 5张,一共 20张,然后抽出大小王共 2张,总共 22张,再证 6张花色相同,共 23张 . 因此,答案选 C.
【例 2】一副无“王”的扑克牌,至少抽取几张,方能使其中至少有两张牌 具有相同的点数?() A.10B.11 C.13D.14
解析:题目要求:两张牌具有相同的点数 . 考虑最不利情形:从中任取一种 花色的牌 13张,每张牌点数都不同,再抽取任何一张点数都会重复,总共抽取 14张。因此,答案选 D.
【例 3】调研人员在一次市场调查活动中收回了 435份调查试卷,其中 80%的调查问卷上填写了被调查者的手机号码 . 那么调研人员至少需要从这些调查表 中随机抽出多少份, 才能保证一定能找到两个手机号码后两位相同的被调查者? () A.101B.175 C.188D.200
解析:题目要求保证:两个手机号码后两位相同 . 手机号码后两位共有种不 同组合 . 考虑最不利情形:先抽中了份没有填写手机号码的问卷,再抽中了 100份手机号码后两位各不相同的问卷, 再任意抽取任何一份问卷, 手机号码后两位 都会重复,总共抽取 188份 . 因此,答案选 C.
【例 4】某区要从 10位候选人中投票选举人大代表,现规定每位选举人必 须从这 10位中任选两位投票 . 问至少要有多少位选举人参加投票, 才能保证有不 少于 10位选举人投了相同的两位候选人的票? A.382B.406 C.451D.516
解析:题目要求保证:不少于 10位选举人投了相同的两位候选人 . 根据题意, 不同的选票有种 . 考虑最不利情形:45种选票方式都被投了 9次,再有一位选举 人,就会有 10位选举人投了相同的两位候选人的票,一共投票次,所以至少要 有 406人选举人 . 因此,答案选 B.
可以看出 , 题目中出现“至少??,才能保证??”的问法时, 首先考虑抽屉 原理,找到“最不利”情形,迅速得到答案 .
二.应用题型 [不知道老师是否真正地知晓“抽屉原理”的含义,抽屉原理 不等于最不利原则, 无论是从数学上还是从行测上都不等于。 抽屉原理不能解决 文章这一部分多集合重复题目, 因为抽屉原理证明的是 n+k个元素在 n 个集合中 的存在性, 而非集合重复情况的讨论。 抽屉原理的推论和应用是确定且可证明的, 但是多集合重复的答案是逆向思维的情形构造,不可用抽屉原理证明。 ]
抽屉原理证明。 ]
【例 1】共有
100个人参加某公司的招聘考试,考试内容共有 5道
题, 1~5题分别有 80人, 92人, 86人, 78人和 74人答对,答对了 3道和 3道以上的人 员能通过考试,请问至少有多少人能通过考试?
A.30B.55 C.70D.74
解析:想要“通过考试的人员尽量少”,就要让“未通过考试的人员尽量 多”.1~5题答错的总数为 . 考虑最不利情形:恰好每人答错 3道题,这样未能 通过考试的人数会最多,即 30人 , 则至少有 70人通过考试 . 因此 , 答案选 C.
【例 2】某班
40名同学在期末考试中,语文,数学,英语三门课成绩优
秀 的分别有 32人, 35人, 33人,三门课都优秀的人数至少是()? A.32B.28 C.24D.20
解析:想要“三门课都优秀的人尽量少”, 就要让“至少一门课不优秀的人 尽量多”.各门分别有 8人, 5人, 7人未达到优秀,共人次 . 考虑最不利情形:这 20人次分配给 20个不同的人,就能保证三门课不都优秀的人数最多,即 20人 , 则至少有人三门课都优秀 . 因此,答案选 D.
【例 3】有
10个学生,其中任意 5个人的平均身高都不小于 1.6米,那
么 其中身高小于 1.6米的学生最多有多少人?() A.3B.4 C.5D.6
解析:题目要求:身高小于 1.6米的学生最多 . 考虑最不利情形:1次把最 矮的 5个学生全部选中, 且这 5个人的平均身高都不小于 1.6米, 这就意味着最 多会有 4个人身高低于 1.6米, 而另外 1个人的身高高于 1.6米 , 即身高小于 1.6米的学生最多 4人 . 因此,答案选 B.
可以看出 , 题目中出现“3个或者 3个以上的满足不同条件的集合时”,而 问题中出现“??都满足的至少有多少个”的问法时,也要首先考虑抽屉原理, 找到反向“最不利”情形,进而迅速得到答案 .
【例 1】从一副完整的扑克牌中至少抽出()张牌才能保证至少
6张牌的
花 色相同? A.21B.22 C.23D.24
解析:题目要求保证:6张牌的花色相同 . 考虑最不利情形:每种花色取 5张,一共 20张,然后抽出大小王共 2张,总共 22张,再证 6张花色相同,共 23张 . 因此,答案选 C.
【例 2】一副无“王”的扑克牌,至少抽取几张,方能使其中至少有两张
牌 具有相同的点数?() A.10B.11 C.13D.14
解析:题目要求:两张牌具有相同的点数 . 考虑最不利情形:从中任取一种 花色的牌 13张,每张牌点数都不同,再抽取任何一张点数都会重复,总共
抽取 14张。因此,答案选 D.
【例 3】调研人员在一次市场调查活动中收回了
435份调查试卷,其
中 80%的调查问卷上填写了被调查者的手机号码 . 那么调研人员至少需要从这些调查表 中随机抽出多少份, 才能保证一定能找到两个手机号码后两位相同的被调查者? () A.101B.175 C.188D.200
解析:题目要求保证:两个手机号码后两位相同 . 手机号码后两位共有种
不 同组合 . 考虑最不利情形:先抽中了份没有填写手机号码的问卷,再抽中了 100份手机号码后两位各不相同的问卷, 再任意抽取任何一份问卷, 手机号码后两位 都会重复,总共抽取 188份 . 因此,答案选 C.
【例 4】某区要从
10位候选人中投票选举人大代表,现规定每位选举人
必 须从这 10位中任选两位投票 . 问至少要有多少位选举人参加投票, 才能保证有不 少于 10位选举人投了相同的两位候选人的票? A.382B.406 C.451D.516
解析:题目要求保证:不少于 10位选举人投了相同的两位候选人 . 根据题意, 不同的选票有种 . 考虑最不利情形:45种选票方式都被投了 9次,再有一位选举 人,就会有 10位选举人投了相同的两位候选人的票,一共投票次,所以至少要 有 406人选举人 . 因此,答案选 B.
可以看出 , 题目中出现“至少??,才能保证??”的问法时, 首先考虑抽屉 原理,找到“最不利”情形,迅速得到答案 .
二.应用题型 [不知道老师是否真正地知晓“抽屉原理”的含义,抽屉原理 不等于最不利原则, 无论是从数学上还是从行测上都不等于。 抽屉原理不能解决 文章这一部分多集合重复题目, 因为抽屉原理证明的是 n+k个元素在 n 个集合中 的存在性, 而非集合重复情况的讨论。 抽屉原理的推论和应用是确定且可证明的, 但是多集合重复的答案是逆向思维的情形构造,不可用抽屉原理证明。 ]
抽屉原理证明。 ]
【例 1】共有
100个人参加某公司的招聘考试,考试内容共有 5道
题, 1~5题分别有 80人, 92人, 86人, 78人和 74人答对,答对了 3道和 3道以上的人 员能通过考试,请问至少有多少人能通过考试? A.30B.55 C.70D.74
解析:想要“通过考试的人员尽量少”,就要让“未通过考试的人员尽
量 多”.1~5题答错的总数为 . 考虑最不利情形:恰好每人答错 3道题,这样未能 通过考试的人数会最多,即 30人 , 则至少有 70人通过考试 . 因此 , 答案选 C.
【例 2】某班
40名同学在期末考试中,语文,数学,英语三门课成绩优
秀 的分别有 32人, 35人, 33人,三门课都优秀的人数至少是()? A.32B.28 C.24D.20 A.32B.28 C.24D.20
解析:想要“三门课都优秀的人尽量少”, 就要让“至少一门课不优秀的
人 尽量多”.各门分别有 8人, 5人, 7人未达到优秀,共人次 . 考虑最不利情形:这 20人次分配给 20个不同的人,就能保证三门课不都优秀的人数最多,即 20人 , 则至少有人三门课都优秀 . 因此,答案选 D.
【例 3】有
10个学生,其中任意 5个人的平均身高都不小于 1.6米,那
么 其中身高小于 1.6米的学生最多有多少人?() A.3B.4 C.5D.6
解析:题目要求:身高小于 1.6米的学生最多 . 考虑最不利情形:1次把最 矮的 5个学生全部选中, 且这 5个人的平均身高都不小于 1.6
米, 这就意味着最 多会有 4个人身高低于 1.6米, 而另外 1个人的身高高于 1.6米 , 即身高小于 1.6米的学生最多 4人 . 因此,答案选 B.
可以看出 , 题目中出现“3个或者 3个以上的满足不同条件的集合时”,而 问题中出现“??都满足的至少有多少个”的问法时,也要首先考虑抽屉原理, 找到反向“最不利”情形,进而迅速得到答案 .