6-22 图（a）所示电路中的电压u(t)的波形如图（b）所示，试求电流i(t)。
解法一：将电路的工作过程分段求解。 在0?t?1区间为电路的零状态响应，因为
??
L15?? sR02//36
稳态值为
iL?2?1 A2
6?t5故电流 i(t)?(1?e) A
在1?t??区间为电路的零输入响应，此时的初始值为 iL(1)?(1?e)?0.699 A 故有 i(t)?iL(t)?0.699e6?t5?65 A
解法二：用阶跃函数表示激励，求电路的阶跃响应，图（b）可以写为 u(t)?2?(t)?2?(t?1) V
5iL(0?)?iL(0?)?0,?? s6，而在单位阶跃函数?(t)的作用下，其稳态值为由
1iL(?)? A2，所以电路的单位阶跃响应为
?t1s(t)?(1?e5)?(t) A2
6故当激励为u(t)时，根据线性叠加定理和时不变网络性质，电路的零状态响应为 i(t)?2s(t)?2s(t?1)?(1?e6?t5)?(t)?(1?e6?(t?1)5)?(t?1) A
6-23 RC电路中，电容C原未充电，所加u(t)的波形如图所示，其中R?1000?，
C?10?F
求（1）电容电压uC；（2）用分段形式写出uC；（3）用 一个表达式写出uC。
解：（1）分段求解。在0?t?2区间，RC电路的零状态响应为 uC(t)?10(1?e?100t)
t?2 s时 uC(t)?10(1?e在2?t?3区间，RC的全响应为
?100?2)?10 V
?100(t?2)?100(t?2)??u(t)??20?10?(?20)e??20?30e V C
t?3 s时 uC(3)??20?30e在3?t??区间，RC的零输入响应为
?100?(3?2)??20 V
?100(t?3)?100(t?3)u(t)?u(3)e??20e V CC
（3） 用阶跃函数表示激励，有
u(t)?10?(t)?30?(t?2)?20?(t?3) 而RC串联电路的单位阶跃响应为 s(t)?(1?e?tRC)?(t)?(1?e?100t)?(t)
根据电路的线性时不变特性，有
uC(t)?10s(t)?30s(t?2)?20s(t?3) ?10(1?e?100t)?(t)?30(1?e?100(t?2))?(t?2)?30(1?e?100(t?3))?(t?3)
6-24 图示电路中，uC(0?)?0,R1?3k?,R2?6k?,C?2.5?F，试求电路的冲激响应iC,i1和uC。
解：应用戴维宁定理把原电路变化为题解6-24图所示的电路。其中
uOC?R2?(t)2??(t) VR1?R23 R1R2?2 k?R1?R2
R0?解法一：由于激励为冲激函数，所以在t?0?时，虽然?(t)?0，但电容电压
uC(0?)?uC(0?)?0，电路中有由uC(0?)引起的零输入响应。先求uC(0?)。根据
KVL，电路的方程为 R0i?uC?uOC
R0CduC2?uC?uOC??(t) t?0?dt3
即
把上式在0?与0?时间域积分，应用?(t)的“筛分”性质，得
?0?0?R0C0?duC20?2dt??uCdt???(t)dt?0?dt30?3
uCdt?0?u(t)0C?由于不是冲激函数，有，上式积分为
0?
R0C?uC(0?)?uC(0?)??23
把uC(0?)?0代入，得
uC(0?)?2121400???? V363R0C32?10?2.5?103
当t?0?时，?(t)?0，即uOC相当于短路，电容电压为
uC(t)?uC(0?)e?t?
400?R0C?e?133.33e?200t V3
t原图中的电流为
i1(t)?i(t)?uC(t)400?200t?3?200t?e?22.22?10e A3R23?6?10R1?10.4?200t?103?(t)?e A39?(t)?uC(t) ?0.333?(t)?44.44e?200t mA?200ti(t)?i?i?0.333?(t)?66.66e mAC1
电容电流也可以用下列方式求得
iC(t)?CduCd?400?200t??C?e?(t)?dtdt?3?400?200t?400? ?2.5?10?6???(t)?e?(?200)?(t)?3?3??200t ?0.333?(t)?66.66e mA t?0?
解法二：利用阶跃响应求冲激响应。
由于阶跃函数?(t)和鲜冲激函数?(t)之间满足关系
d?(t)??(t) dt
因此线性电路中阶跃响应s(t)与冲激响应h(t)满足
h(t)?ds(t)dt
设题解2-24图电路的电压源
uC?t2?(t)3，其阶跃响应为
?22suC(t)?(1?eR0C)?(t)?(1?e?200)?(t) V33
则冲激响应为
uC(t)?dsuC(t)dt2400?200t??e?200t?(?200)?(t)?e?(t) V33
注：对于uC(0?)?0和iL(0?)?0的零状态一阶RC或RL电路，当冲激函数作用其上时，在t?0?到0?区间内，电容电压和电感电流将发生跃变，即
uC(0?)?0,iL(0???)?0。当t?0后，电路中有uC(0?)或iL(0?)引起的零输入响应。
因此，一阶电路冲激响应的求解，关键在于uC(0?)或iL(0?)的确定，确定的方法见本题的解法一。对于线性电路，冲击响应可以按阶跃响应的一阶导数求得，如
本题解法二。
6-25 图示电路中，iL(0?)?0,R1?60?,R2?40?,L?100 mH，试求冲激响应
iL,uL 。
解法一：应用戴维宁定理把原电路变为题解6-25图所示的等效电路。其中
uOC?R0?
R2?(t)40?(t)??0.4?(t) VR1?R240?60
R1R260?40??24?R1?R260?40
应用KVL，可得电路方程 R0iL?uL?uOC
R0Il?LdiL?0.48?(t) t?0?dt
即
把上式在0?与0?时间域积分，得
?0?0?R0iLdt??L0?0?0?diLdt??0.4?(t)dt?0.40?dt
考虑到iL不是冲激函数，有?0?0?R0iLdt?0，上式积分为
L?iL(0?)?iL(0?)??0.4 因iL(0?)?0，所以有
iL(0?)?0.40.4??4 AL100?10?3
则电路的冲激响应为
?240t?i(t)?i(0)e?(t)?4e?(t) A L? L?t