习 题 1-1
1．计算下列极限
（1）limx?aa?xx?axa, a?0;
xa解：原式?lim[x?aa?ax?aa?1?x?ax?aaa]=(a)?|x?a?(x)?|x?a
xa=alna?a?a（2）lima=a(lna?1) ；
asinx?sinasin(x?a)x?ax?ax?a12（3）limn(na??2), a?0;
nn??ax?a解：原式?limsinx?sina?(sinx)'?cosa
解：原式?lim1a1nnn??n(pa?11/n)?[(a)'2xx?0]?lna
22（4）limn[(1?n??)?1]，p?0;
解：原式?limpp(1?1n)?1n??1n10?(x)?|x?1?px10pp?1x?1?p
（5）lim(1?tanx)?(1?sinx)10x?0sinx(1?tanx)tanx9; (1?sinx)10解：原式?lim9?1x?0?lim?1x?0?sinx
=10(1?t)|t?0?10(1?t)|t?0?20
m（6） limx?1x?1x?1n，m,n为正整数；
1m(xm)'x?1x?1?x?1n解：原式?limx?1x?1?x?11?nm
(xn)'x?12．设f(x)在x0处二阶可导，计算lim解：原式?lim
f(x0?h)?2f(x0)?f(x0?h)h?limh?02.
h?0f?(x0?h)?f?(x0?h)2hf?(x0?h)?f?(x0)?f?(x0)?f?(x0?h)2h1212h?0
?lim
f?(x0?h)?f?(x0)2hh?0?limf?(x0?h)?f?(x)0?2hh?0?f??(x0)?f??(x0)?f??(x0)
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3．设a?0，f(a)?0，f?(a)存在，计算lim[x?af(x)f(a)1]lnx?lna.
f(x)lnx?lna?lime解：lim[]x?ax?af(a)1lnf(x)?lnf(a)lnx?lna
?ex?alimlnf(x)?lnf(a)lnx?lna?elnf(x)?lnf(a)?x?ax?ax?alnx?lnalim
f'(a)?ef(a)?a
习 题 1-2
1.求下列极限 （1）lim(sinx???x?1?sinx?1);
解：原式?limcosx?????12?[(x?1)?(x?1)]?0 ，其中?在x?1与x?1之间
（2）limcos(sinx)?cosxsinx4;
x?0解：原式=lim?sin?(sinx?x)x654x?0=?lim(x?0sin??)?()(x?sinx?xx3)=
16，其中?在x与sinx之间
（3） lim(x???6x?x?1x316x?x);
165解：原式?limx[(1?x???)6?(1?1x1)6]?limx?x???16(1??)?56?[(1?1x)?(1?1x)]
?lim13x???(1??)2?56?1 ，其中?在1?1x与1?1x之间
（4） limn(arctann???n?111112解：原式?limn?，其中其中在与之间 ?1(?)?2n???n?1n1??nn?1n1?arctan1);
?f(a?1n)?2．设f(x)在a处可导，f(a)?0，计算lim?.
1)?n??f(a?n??n解：原式
?limen??[limn??n(lnf(a?1n)?lnf(a?1n))?elimn(lnf(a?n??1n)?lnf(a?1n))
)?lnf(a)1n]lnf(a?1n1)?lnf(a)?limn??lnf(a?1n?
?en?ef?(a)?f(a)?f(a)f(a)?2f(a)f(a)
?e习 题 1-3
1．求下列极限 （1）lim(1?x)?1(1?x)?1??x?0,??0;
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解：原式?lim?x?xx?0???
（2）lim1?cosxcos2x???cosnx1?x?12;
x?0解：I?lim?lncosxcos2x???cosnx12x2??2limlncosx?lncos2x?????lncosnxx2
x?0x?0??2limcosx?1?cos2x?1?????cosnx?1x1x?1e?1xx2x?0?limx?(2x)?????(nx)x2222nx?0??i?12i
（3）lim（x?0);
解：原式?lime?1?xx(e?1)1x?0x?lim1e?1?xx2xx?0?lime?12xx?limx2xx?0x?0?12
（4）limx[(1?x)x?xx];
x???1ln(1?x)1lnx2解：原式?limx(exx???2?ex121)?limx?(ln(1?x)?lnx)?limxln(1?)
x???x???xx?limxx???1x?1
2. 求下列极限 （1）lim1?cosx?lncosxex2?sinx122x?x22?1 解：原式?lim22x?02x?xxln(x?e)?2sinx（2）lim;
x?0sin(2tan2x)?sin(tan2x)?tanx解：原式?limx?0?e1?x22;
ln(1?x?e?1)?2sinxsin(2tan2x)?sin(tan2x)?tanx?4
习 题 1-4
xx?0?limx?e?1?2sinxsin(2tan2x)?sin(tan2x)?tanxxx?0
?limx?x?2x4x?2x?xx?01．求下列极限
（1）limn(1?nsinn??221n)； 1n?113!n3解：原式?limn[1?n(n???o(1n))]?lim(3n??13!?o(1))?16
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（2）求limex3?1?x63x?0sinxx3；
解：原式?lime?1?xx63x??limx?03x62?o(x)?xx663x?02?12
（3）lim[x?xln(1?x??1x1x)]； ?12x2解：原式?lim[x?x(x??2?o(1x))]?212
（4）lim(1?x???1x)e2x2?x；
)?x]?12解：原式?limex??[xln(1?1x?e
此题已换3．设f(x)在x?0处可导，f(0)?0，f?(0)?0.若af(h)?bf(2h)?f(0)在h?0时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值.
解：因为 f(h)?f(0)?f?(0)h?o(h)，f(2h)?f(0)?2f?(0)h?o(h) 所以0?limaf(h)?bf(2h)?2f(0)hh?0?lim(a?b?1)f(0)?(a?2b)f?(0)?o(h)hh?0
从而 a?b?1?0 a?2b?0 解得：a?2,b??1 3．设f(x)在x0处二阶可导，用泰勒公式求lim解：原式
f(x0?h)?2f(x0)?f(x0?h)h2
h?0f(x0)?f'(x0)h??limh?0f''(x0)2!h?o1(h)?2f(x0)?f(x0)?f'(x0)h?h222f''(x0)2!h?o2(h)22?limf''(x0)h?o1(h)?o2(h)h2222h?0?f''(x0) sinxx24. 设f(x)在x?0处可导，且lim(x?0?f(x)xx2)?2.求f(0),f?(0)和lim
1?f(x)xx?0.
解 因为 2?lim(x?0sinxx2?f(x)x)?limsinx?xf(x)x?0?lim2x?o(x)?x?f(0)?f?(0)x?o(x)?x?0x2
?lim22(1?f(0))x?f?(0)x?o(x)x?0x2
所以 1?f(0)?0,f?(0)?2,即f(0)??1,f?(0)?2
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所以 limx?01?f(x)x1?f(0)?f?(0x)?ox()2x?o(x)?lim?lim?x?0x?0xx 2
习 题 1-5
1. 计算下列极限
1?(1) limn??12???n11n; ; 解：原式?limn?1n?1?2?limn?1?n?1nn??nnn???2
(2)lim1?a?2a?????nanan??n?2n??(a?1)
?limnna?(n?1)a2解：原式?limnanan?2nn?1n??2?(n?1)an???1a?a2
2． 设liman?a，求 (1) limn??a1?2a2???nannnan2n?1n??；
解：原式?lim(2) limnann?(n?1)n1an22?lim?a2
n??n??1a1?1a21a1，ai?0,i?1,2,?,n.
????1a2???n1an?lim1ann??解：由于limn???1a，
所以limn1a1?1a2???1ann???a
3．设lim(xn?xn?2)?0，求limn??n??xnnn??和limxn?xn?1n.
n??解：因为lim(xn?xn?2)?0，所以lim(x2n?x2n?2)?0
n??且lim(x2n?1?x2n?1)?0
n??从而有stolz定理lim且limx2n2nn???limx2n?x2n?22n???0，
?0
2n?1n??2xnx?xn?1xn?1xn?1?0，limn?limn?lim?0 所以limn??nn??n??n??nnnn?1n??x2n?1?limx2n?1?x2n?14．设0?x1?1q，其中0?q?1，并且xn?1?xn(1?qxn)，
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