解：f'(x)?lnx?1，f''(x)?（2）f(x)?ln1x，所以f(x)是(0,??)上的严格凸函数 ?0（x?(0,??)）
sinxx, x?(0,?);
，f''(x)??cscx?2解：f'(x)?cotx?1x1x2?sinx?xxsinx2222，所以f(x)?0（x?(0,?)）
是(0,??)上的严格凹函数
习 题6-3
1．证明不等式 （1）(x?y2)??x?y2??, x?0,y?0,x?y,??1;
??2证：设f(t)?t，则f'(t)??(??1)t?，所以f(t)是(0,??)上的严格凸?0（t?(0,??)）
函数；从而?x?y?(0,??)，有f(a?b?cx?y2)?f(x)?f(y)2，即(x?y2)??x?y2??
（2） (abc)3?abc, a?0,b?0,c?0;
1abc?0（t?(0,??)），所以f(t)是(0,??)上的严格凸函数；从
ta?b?cf(a)?f(b)?f(c))?而?a,b,c?(0,??)，有f(，可得 33a?b?c3又因为(证：设f(t)?tlnt，则f''(t)?ln(a?b?c3)?133(alna?blnb?clnc)，即(a?b?ca?b?c3)a?b?c?abc，
abca?b?c3a?b?c)a?b?c?(abc)a?b?c?(abc)3，所以 (abc)3abc?abc
习 题 9-1
1. 求下列函数项级数的收敛域
?(1)
?1?xn?1xn2n；
解：un?1(x)un(x)?1?x1?x2n2n?2x，从而当x?1时，limun?1(x)un(x)?n???x?1，级数绝对收敛；当x?1时，limun?1(x)un(x)n???1x?1，级数绝对收敛；当x?1时，?n?112?发散；当x??1时，
?n?1(?1)2n发散，
所以，级数的收敛域为x?1
?(2)
?1?(3x)n?12?xnnn(x??13).
21 / 27
解：
un?1(x)un(x)13?1?(3x)1?(3x)n2n?1n?xn?1nn?12?x，所以
当x?时，limun?1(x)un(x)n???2?1，级数发散；当
13?x?23时，limun?1(x)un(x)n???23x?1，
级数发散；当
23?x?2时，limun?1(x)un(x)n???23x?1，级数绝对收敛；当x?2时，
limun?1(x)un(x)nn???13?1，级数绝对收敛；当x?13?时，级数
?n?11nn2?()3发散；当x??2时，级数
32?2?(?2?n?13n1?(?2))n?发散；当x??2时，级数
?n?12?(?2)1?(?6)nnn收敛；
所以原级数的收敛域为x?23
习 题 9-2
?1. 证明函数项级数
?[1?(n?1)x](1?nx)在[1,??)上一致收敛.
n?1x证明：un(x)?x[1?(n?1)x][1?nx]11?x11?2x?11?(n?1)x1?11?nx1，从而
Sn(x)?1?11?x?????1?(n?1)x?1?nx?1?11?nx?nx1?nx
所以对任意的x?[1,??)，S(x)?limSn(x)?1
n??由Sn(x)?S(x)?11?nx?11?n?1n，得对???0，取N??1?，当n?N时， ?????xSn(x)?S(x)?1n???对任意的x?[1,??)成立，因此，?n?1[1?(n?1)x](1?nx)在
[1,??)上一致收敛到S(x)?1.
2. 设?fn(x)?在区间I上一致收敛于f(x),且对任意x?I有f(x)?A.试问是否存在N,使当
n?N时,对任意x?I有fn(x)?A?
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解：答案不正确；例 fn(x)?nn?1arctanx在(1,??)内一致收敛到f(x)?arctanx，且
?x?(1,??)，有f(x)?arctanx?(2N?3)?8N?8?4；但?N，?n0?N?1?N和
x0?tan?1，使fn(x0)?0n0n0?1arctanx0?N?1(2N?3)?? ??N?28N?84习 题 9-3
1. 利用定理9.3.1'证明下列函数项级数不一致收敛.
?(1)
?(1?x)xn?0nn,x?[0,1],
证：un(x)?x?xn?1?C[0,1]，级数的部分和Sn(x)?1?x，从而
n?1 x?[0,1)S(x)?limSn(x)??，S(x)在[0,1]不连续，故级数不一致收敛。
n???0 x?1?(2)
?(1?xn?0x22)n,x?[0,1].
?0 x?0x?证：un(x)?，级数的部分和， ?C[0,1]S(x)?1?2n2n1?x? x?(0,1](1?x)2n?1?(1?x)?2?0 x?0从而S(x)?limSn(x)??，S(x)在[0,1]不连续，故级数不一致收敛。 2n???1?x x?(0,1]2. 设Sn(x)?nx1?nx22.试问
b?Sn(x)?在[0,1]上是否一致收敛?是否有
limn??? b aSn(x)dx?? an??limSn(x)dx?
12，?N,?n?N，
解：对?x?[0,1]，S(x)?limSn(x)?0，但对0???n??都?x0?1n?[0,1]，使Sn(x)?S(x)? 1 012??，所以?Sn(x)?在[0,1]上不一致收敛
另外lim 1n??? 1 0Sn(x)dx?limn???nx1?nx22dx?lim b aln(1?n)2n2n???0，
? 0n??limSn(x)dx??100dx?0，所以lim.试问
n???Sn(x)dx?? b an??limSn(x)dx
3. 设Sn(x)?x1?nx22?Sn?(x)?在(??,??)上是否一致收敛?是否有
?x(?)limSnn???n???Slnixm? 其中()x?(??,??).
? 23 / 27
解：对?x?(??,??)，有Sn'(x)?1?nx2222n??(1?nx)2n2，从而S'(x)?limSn'(x)???1 x?0?0 x?0325
但对0???325，?N,?n?N，都?x0??(??,??)，使Sn'(x)?S'(x)???
所以?Sn'(x)?在(??,??)上不一致收敛
??1 x?0??x?又limSn'(x)??，limSn(x)??lim?0， 22?n??n??n??1?nx???0 x?0???(x)?limSn(x)所以limSnn??n?????
?4. 求S(x)??n?1(1nn?x)的收敛域，并讨论和函数的连续性.
解：设un(x)?(1n?x)，则limnnn??un(x)?lim1nn???x?x，有根值判别法，当x?1时，级
数绝对收敛；当x?1时，级数发散；当x?1时，级数发散；所以级数的收敛域为x?1。 对?x0?(?1,1)，总???0，使x0?(?1??,1??)?(?1,1)，从而un(x)在
?(?1??,1??)上连续，且S(x)??un?1n(x)在(?1??,1??)一致收敛，从而S(x)在
(?1??,1??)上连续，故S(x)在x0上连续，由?x0?(?1,1)得 S(x)在(?1,1)上连续
习 题 9-4
1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性. （1） Sn(x)?xe?nx， x?(0, ??)；
?nx解：对?x?(0, ??)，S(x)?limSn(x)?limxen??n???0
1e?]，则对
又Sn(x)?xe?nx在x?1n处取得最大值
1ne，从而对???0，取N?[?nx?n?N，有Sn(x)?S(x)?（2）Sn(x)?sin1ne??，所以Sn(x)?xe在x?(0, ??)一致收敛
xn；
（i）x?(??, ?)，
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解：对?x?(??, ?)，S(x)?limSn(x)?limsinn??n??xn?0
对???0，取N?[??则对?n?N，有Sn(]，x)S?(x)nsi?xn??n所以Sn(x)?sin??，
xn在x?(??, ?)一致收敛
（ii）x?(??, ??)；
解：对?x?(??, ?)，S(x)?limSn(x)?limsinn??n??xn?0
对??12?0，?N，?n0?2N?N，?x0?5N??(??, ??)，使
Sn0(x0)?S(x0)?sin5N?2N?1??，所以Sn(x)?sinxn在x?(??, ?)不一致收敛
2. 讨论下列函数项级数的一致收敛性.
?（1）
?n?1(?1)nnx?2，x?(?2, ??)；
解：对任意的x?(?2, ??)，un(x)?12n?1?，而
?n?112n?1收敛，由M判别法，原级数一致收敛。
?（2）
?n?1sinnx3n?x44，x?(??, ??).
解：对任意的x?(??, ??)，un(x)?敛。
1n4/3?，而
?n?11n4/3收敛，由M判别法，原级数一致收
3. 设un(x)?1n3?ln(1?nx)，(n?1, 2, 3, ?). 证明函数项级数?un(x)在[0, 1]上一致
n?122收敛，并讨论其和函数在[0, 1]上的连续性、可积性与可微性.
解：由un'(x)?2nxn(1?nx)1n32322?0对任意的x?[0,1]成立，从而
1n30?un(0)?un(x)??ln(1?nx)?un(1)??22ln(1?n)?22ln(1?n)n3?2n2
而
?n?12n2收敛，由M判别法知
?un?1n(x)在[0, 1]上一致收敛
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