?（1）un(x)?C[0,1]，
?un?1?n(x)在[0, 1]上一致收敛，所以和函数在[0, 1]连续（定理1）
（2）un(x)?C[0,1]，
?un?1?n(x)在[0, 1]上一致收敛，所以和函数在[0, 1]可积（定理2）
（3）由un'(x)?1n2，
?n?11n2?收敛，由M判别法知
?un?1n'(x)在[0, 1]上一致收敛，从而和函数在
（定理3） [0, 1]可微。
习 题10-1
1．一块金属板平底锅在xOy平面上占据的区域是D?{(x,y)|0?x?1,0?y?1}, 已知板上点
(x,y)处的温度为T?720xy(1?x)(1?y).锅底上点P0?(它的逃逸方向为( D ).
11,)处的蚂蚁为了逃向温度更低的地方, 43； C.{?16,?9}； D.{16,9}. A.{?9,16}； B.{9?,16}解：gradTp0?(80,45)?5(16,9)，而梯度方向是温度降低最快的方向
2．一个高l为的柱体储油罐，底面是长轴2a为，短轴为2b的椭圆，现将储油罐平放，当油罐中油面高度为
32b时，计算油的质量。（长度单位为m，质量为kg，油的密度为常数?kg/cm）.
32b时，垂直地面的截面面积为
3解：储油罐平放一般指长轴平行与地面，当油罐中油面高度为
bS??2?b2abb?ydy?(222?3?34)ab（平方米）
所以m??V??(2?3?34)abl?10 kg
64． 在一个形状为旋转抛物面z?x?y的容器内，已经盛有8?cm的水，现又倒入120?cm的水，
问水面比原来升高多少cm.
解：旋转抛物面容器的体积是深度h的函数，
2233V(h)?2???2dV??h0dz2??dxdy?x?y?z?hx?y?z2?h0?zdz??h22，从而h?2V(h)?，所以题中水面
升高的高度为?h?2V(h2)??2V(h1)??2?128???2?8???12cm
习 题10-3
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1. 设x??1，证明：
（1）当0???1时，?1?x????1??x；
??1证明：取f(x)??(1?x)，则f'(x)???(1?x)，f''(x)???(??1)(1?x)??2 ?0，
所以f(x)为(?1,??)上的严格凸函数，从而对?x,x0?0?(?1,??)，由定理6.2.3，恒有，即f(x)?f(x0)?f'(x)(x?x)?(1?x)??1??x 00所以(1?x)???1??x
?（2）当??0或??1时，?1?x???1??x ．
??1证明：取f(x)?(1?x)，则f'(x)??(1?x)，f''(x)??(??1)(1?x)??2?0，
所以f(x)为(?1,??)上的严格凸函数，从而对?x,x0?0?(?1,??)，由定理6.2.3，恒有
f(x)?f(x0)?f'(x)(x?x)，即(1?x)?1??x 002. 设0?x?1. 证明: e证明：令f(x)?(1?x)e
2x??1?x1?x.
2x?(1?x)，利用单调性可证（略）
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