2014年高考抛物线专题做题技巧与方法总结
知识点梳理：
1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (p?0)： 标准方程 图形 y2?2px ▲y2??2px ▲x2?2py ▲x2??2py ▲yyyyxOxOxOxO 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率
2.抛物线的焦半径、焦点弦
F(p,0) 2p 2 F(?p,0) 2F(0,p) 2 F(0,?p 2 p) 2x??x?p 2y??p 2y?x?0,y?R x?0,y?R x?R,y?0 x?R,y?0 x轴 y轴 （0，0） e?1 ①y2?2px(p?0)的焦半径PF?x?P;x2?2py(p?0)的焦半径PF?y?P；
22② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p. ③ AB为抛物线y2p2 ，yAyB??p2，?2px的焦点弦，则xAxB? 4|AB|=xA?xB?p
?x?2pt2?x?2pt3. y?2px的参数方程为?（t为参数），x2?2py的参数方程为?（t2y?2pty?2pt??2为参数）. 重难点突破
重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能
通过方程研究抛物线的几何性质 难点: 与焦点有关的计算与论证
重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质 1.要有用定义的意识
问题1：抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( ) A.
17157 B. C. D. 0
81616点拨：抛物线的标准方程为x2?11y，准线方程为y??,由定义知，点M到准41615 16线的距离为1，所以点M的纵坐标是
2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向
问题2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有
点拨：抛物线的类型一共有4种，经过第一象限的抛物线有2种，故满足条件的抛物线有2条
3.研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路” 问题3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切
点拨：设AB为抛物线的焦点弦，F为抛物线的焦点，点A\'、B\'分别是点A、B在准线上的射影，弦AB的中点为M，则AB?AF?BF?AA\'?BB\'，点M到准线的
11距离为(AA\'?BB\')?AB，?以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相
22切
3、典型例题讲解： 考点1 抛物线的定义
题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换 [例1 ]已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为
解题思路：将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离
[解析]过点P作准线的垂线l交准线于点R，由抛物线的定义知，
PQ?PF?PQ?PR，当P点为抛物线与垂线l的交点时，PQ?PR取得最小值，
最小值为点Q到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3
总结：灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关 练习：
x1，y1)，P2x(2y，1.已知抛物线y2?2px(p?0)的焦点为F，点P，P3(x3，y3)在1(2)抛物线上，且|P3F|成等差数列， 则有 （ ） 1F|、|P2F|、|PA．x1?x2?x3
B． y1?y2?y3
C．x1?x3?2x2 D. y1?y3?2y2
ppp［解析］C 由抛物线定义，2(x2?)?(x1?)?(x3?),即：x1?x3?2x2．
2222. 已知点A(3,4),F是抛物线y2?8x的焦点,M是抛物线上的动点,当MA?MF最小时,
M点坐标是 ( )
A. (0,0) B. (3,26) C. (2,4) D. (3,?26) [解析] 设M到准线的距离为MK,则|MA|?MF|?MA?MK，当MA?MK最小时，M点坐标是(2,4)，选C
考点2 抛物线的标准方程 题型:求抛物线的标准方程
[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点(-3,2) (2)焦点在直线x?2y?4?0上 解题思路：以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.
[解析] (1)设所求的抛物线的方程为y2??2px或x2?2py(p?0), ∵过点(-3,2) ∴4??2p(?3)或9?2p?2
29 ∴p?或p?
3494 ∴抛物线方程为y2??x或x2?y,
2319前者的准线方程是x?,后者的准线方程为y??
38 (2)令x?0得y??2，令y?0得x?4，
∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时, ∴p?8，此时抛物线方程y2?16x;焦点为(0,-2)时 ∴p?4，此时抛物线方程x2??8y.
∴所求抛物线方程为y2?16x或x2??8y,对应的准线方程分别是
x??4,y?2.
p?4, 2p?2 2总结：对开口方向要特别小心，考虑问题要全面 练习：
x23.若抛物线y?2px的焦点与双曲线?y2?1的右焦点重合,则p的值 32 [解析]
p?3?1?p?4 24. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上； ②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.
能使这抛物线方程为y=10x的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）
[解析] 用排除法，由抛物线方程y2=10x可排除①③④，从而②⑤满足条件.
2
5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且|AM|?17,|AF|?3，求此抛物线的方程
[解析] 设点A\'是点A在准线上的射影，则|AA\'|?3，由勾股定理知|MA\'|?22，点A的横坐标为(22,3?x2?4y或x2?8y
p)，代入方程x2?2py得p?2或4，抛物线的方程2考点3 抛物线的几何性质
题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证 [例3 ]设A、B为抛物线y2?2px上的点,且?AOB?90?(O为原点),则直线AB
必过的定点坐标为__________.
解题思路：由特殊入手，先探求定点位置
?y?kx2p2p［解析］设直线OA方程为y?kx,由?2解出A点坐标为(2,)
kk?y?2px1?y??xk(x?2pk2)?2直线AB方程为y?2pk??,k解出B点坐标为(2pk,?2pk)，?21?k?y2?2px?令y?0得x?2p，直线AB必过的定点(2p,0)
总结：（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B点坐标可由A点坐标用?练习：
6. 若直线ax?y?1?0经过抛物线y2?4x的焦点，则实数a? [解析]-1
7.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射
影为A1,B1,则?A1FB1? ( )