抛物线专题练习
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为
A ）
（
A．（1, 0） B．（2, 0） C．（3, 0） D．（－1, 0）
2．圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ D ）
A．x2+ y 2-x-2 y -1=0 4B．x2+ y 2+x-2 y +1=0
D．x2+ y 2-x-2 y +
1=0 4C．x2+ y 2-x-2 y +1=0
3．抛物线y?x2上一点到直线2x?y?4?0的距离最短的点的坐标是
）
A．（1，1）
3911B．（,）C．(,) D．（2，4）
2424（ A
4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（ B ） A．6m
B． 26m C．4.5m
D．9m
5．平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是 （ C ）
A． y 2=－2x
B． y 2=－4x
C．y 2=－8x D．y 2=－16x
6．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 A． y 2=-2x C． y 2=2x
（ B ）
B． y 2=-4x
D． y 2=-4x或y 2=-36x
7．过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|= A．8
B．10 C．6
（ A ）
D．4
8．把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a?(2,?3)平移，所得的曲线的方程是（C ）
A．(y?3)2??4(x?2) B．(y?3)2??4(x?2) C．(y?3)2??4(x?2) D． (y?3)2??4(x?2)
9．过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有 ）
（ C
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
10．过抛物线y =ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则A．2a B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．抛物线y 2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为43，则焦点到AB的距离为 2 ．
12．抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 x? ．
13．P是抛物线y 2=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这
个圆一定经过一个定点Q，点Q的坐标是 （1，0） ．
x2y2??1的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程14．抛物线的焦点为椭圆9411?等于 pq （ C ）
1 2aC．4a D．
4 ak 4为 y2??45x
三、解答题（本大题共6小题，共76分）
15．已知动圆M与直线y =2相切，且与定圆C：x2?(y?3)2?1外切，求动圆圆
心M的轨迹方程．(12分)
[解析]：设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的
距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，其方程为x2??12y．
16．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到
焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．（12分） [解析]：设抛物线方程为x2??2py(p?0)，则焦点F（??m2?6p?m?26?m??26， ?，解之得或???2p2p?4m?(3?)?5??p?4?2?p，由题意可得 ,0）2 故所求的抛物线方程为x2??8y，m的值为?26
17．动直线y =a，与抛物线y2?1x相交于A点，动点B的坐标是(0,3a)，求线2段AB中点M的轨迹的方程．(12分)
?x?a2[解析]：设M的坐标为（x，y），A（2a，a），又B(0,3a)得 ?
y?2a?2y2 消去a，得轨迹方程为x?，即y2?4x
4yOA\'AxB
18．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4
米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？(12分) [解析]：如图建立直角坐标系，
设桥拱抛物线方程为x2??2py(p?0)，由题意可知， B（4，-5）在抛物线上，所以p?1.6，得x2??3.2y，
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA’，则A
5（2,yA），由22??3.2yA得yA??，又知船面露出水面上部分高为0．75
4米，所以h?yA?0.75=2米
19．如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A、B为端点的曲线段
C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=分)
[解析]：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标
原点．由题意可知：曲线C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点．
，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．(14
设曲线段C的方程为y2?2px(p?0),(xA?x?xB,y?0)， 其中xA,xB分别为A、B的横坐标，p?MN． 所以，M(?pp,0),N(,0)． 由AM?17，AN?3得 22p(xA?)2?2pxA?17 ①
2p(xA?)2?2pxA?9 ②
2?p?4?p?24联立①②解得xA?．将其代入①式并由p>0解得?，或?．
x?1x?2p?A?A因为△AMN为锐角三角形，所以
?p?2p故舍去?． ∴p=4，xA?1． ?xA，
2?xA?2BN?p?4．综上得曲线段2由点B在曲线段C上，得xB?y2?8x(1?x?4,y?0)．
C的方程为
20．已知抛物线y2?2px(p?0)．过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛
物线交于不同的两点A、B，|AB|?2p． （Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求Rt?NAB面积的最大值．(14
分)
[解析]：（Ⅰ）直线l的方程为y?x?a，将y?x?a代入y2?2px，
得 x2?2(a?p)x?a2?0． 设直线l与抛物线两个不同交点的坐标为
A(x1,y1)、B(x2,y2)，
?4(a?p)2?4a2?0,则 ??x1?x2?2(a?p), 又y1?x1?a,y2?x2?a，
?2?x1x2?a.∴|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2 ?2[(x1?x2)2?4x1x2]?8p(p?2a)．
0?|AB|?2p,8p(p?2a)?0， ∴
∵
0?8p(p?2a)?2p． 解得
?pp?a??． 24
（Ⅱ）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为(x3,y3)，则由中点坐标公式，得