A. 45? B. 60? C. 90? D. 120? [解析]C
基础巩固训练：
1换k而得。 k
1.过抛物线y2?4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于a2?2a?4(a?R)，则这样的直线（ ）
A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或2条 D.不存在 [解析]C |AB|?xA?xB?p?a2?2a?5?(a?1)2?4?4，而通径的长为4． 2.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线x2?4y上的点P到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为 （ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 [解析] B 利用抛物线的定义，点P到准线y??1的距离为5，故点P的纵坐标为4．
3.两个正数a、b的等差中项是
9，一个等比中项是25，且a?b,则抛物线2y2?(b?a)x的焦点坐标为( )
1111A．(0,?) B．(0,) C．(?,0) D．(?,0)
4424[解析] D. a?5,b?4,b?a??1
4. 如果P1，P2，?，P8是抛物线y2?4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，?，
x8，F是抛物线的焦点，若x1,x2,?,xn(n?N?)成等差数列且x1?x2???x9?45，
则|P5F|=（ ）．
A．5 B．6 C． 7 D．9 [解析]B 根据抛物线的定义，可知PF?xi?ip，?xi?1（i?1，2，??，n）
2?x1,x2,?,xn(n?N?)成等差数列且x1?x2???x9?45,x5?5,|P5F|=6
5、抛物线y2?4x的焦点为F,准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB⊥l，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于（ ）
A．33
B．43
C．63
D．83
[解析] C. 过A作x轴的垂线交x轴于点H，设A(m,n)，则
AF?AB?m?1,FH?OH?OF?m?1，?m?1?2(m?1)?m?3,n?23
1四边形ABEF的面积=[2?(3?1)]?23?63
2????6、设O是坐标原点，F是抛物线y?4x的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x?????轴正向的夹角为60，则OA为 ．
2[解析]21.
过A 作AD?x轴于D，令FD?m，则FA?2m即2?m?2m，解得m?2．
?A(3,23)?OA?32?(23)2?21
综合提高训练
7.在抛物线y?4x2上求一点，使该点到直线y?4x?5的距离为最短，求该点的坐标
[解析]解法1：设抛物线上的点P(x,4x2)，
1|4(x?)2?4||4x?4x?5|4172点P到直线的距离d?， ??1717172当且仅当x?11时取等号，故所求的点为 （，1）22解法2：当平行于直线y?4x?5且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为y?4x?b，代入抛物线方程得4x2?4x?b?0， 由??16?16b?0得b??1,x?11（，1），故所求的点为
228. 已知抛物线C:y?ax2（a为非零常数）的焦点为F，点P为抛物线c上一个动点，过点P且与抛物线c相切的直线记为l． （1）求F的坐标；
（2）当点P在何处时，点F到直线l的距离最小？ 解：（1）抛物线方程为x2?故焦点F的坐标为(0,1y a1) 4a2（2）设P(x0,y0) 则 y0?ax0
?y\'?2ax, ?在P点处抛物线（二次函数）的切线的斜率 k?2ax0
2?2ax0(x?x0) 直线l的方程是 y?ax02即 2ax0x －y?ax0?0
0?? d?12?ax04a(2ax0)2?(?1)2?14a4a2x0?1?21 . 4a当且仅当 x0?0 时上式取“＝” 此时P的坐标是(0,0) ?当P在(0,0)处时，焦点F到切线L的距离最小.
9. 设抛物线y2?2px（p?0）的焦点为 F，经过点 F的直线交抛物线于A、B两点．点 C在抛物线的准线上，且BC∥X轴．证明直线AC经过原点O．
?p?证明:因为抛物线y2?2px（p?0）的焦点为F?,0?，所以经过点F的直线AB
?2?的方程可设为 x?my?p，代人抛物线方程得 2 y2?2pmy?p2?0．
若记A?x1,y1?，B?x2,y2?，则y1,y2是该方程的两个根，所以
y1y2??p2．
因为BC∥X轴，且点C在准线x??故直线CO的斜率为k?p?p?上，所以点C的坐标为??,y2?， 2?2?y22py1??. pyx11?2即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．
x2y2910.椭圆2?2?1上有一点M（-4，）在抛物线y2?2px（p>0）的准线l上，
5ab抛物线的焦点也是椭圆焦点. （1）求椭圆方程；
（2）若点N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为Q距离，求|MN|+|NQ|的最小值.
x2y2解：（1）∵2?2?1上的点M在抛物线y2?2px（p>0）的准线l上，抛物线
ab的焦点也是椭圆焦点. ∴c=-4，p=8??①
9∵M（-4，）在椭圆上
5∴
1681??1??② a225b2∵a2?b2?c2??③ ∴由①②③解得：a=5、b=3
x2y2??1 ∴椭圆为
259由p=8得抛物线为y2?16x 设椭圆焦点为F（4，0）， 由椭圆定义得|NQ|=|NF| ∴|MN|+|NQ|≥|MN|+|NF|=|MF|
941=(?4?4)2?(?0)2?，即为所求的最小值.
55参考例题：
1、已知抛物线C的一个焦点为F（1，0），对应于这个焦点的准线方程为
2x=-1.
2（1）写出抛物线C的方程；
（2）过F点的直线与曲线C交于A、B两点，O点为坐标原点，求△AOB重心G的轨迹方程；
（3）点P是抛物线C上的动点，过点P作圆（x-3）2+y2=2的切线，切点分别是M，N.当P点在何处时，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.
解：（1）抛物线方程为：y2=2x. （4分）
（2）①当直线不垂直于x轴时，设方程为y=k(x-1)，代入y2=2x，
2得：k2x2-(k2+2)x+k24?0.
k2?22设A（x1，y1），B(x2，y2)，则x1+x2=
，y1+y2=k(x1+x2-1)=2.
kk??0?x1?x2k2??x??2设△AOB的重心为
（x，y）则?33k2G?y?0?y1?y2?2，
??33k消去k得y2=23x?29为所求， （6分）
②当直线垂直于x轴时，A（12，1），B（12，-1）， （8分）
△AOB的重心G（13，0）也满足上述方程.
综合①②得，所求的轨迹方程为y2=23x?29， （9分）
（3）设已知圆的圆心为Q（3，0），半径r=
2，
根据圆的性质有：|MN|=2|MP||MQ||PQ|?2r|PQ|2?r2|PQ|2?22?1?2|PQ|2. （11分）
当|PQ|2最小时，|MN|取最小值， 设P点坐标为(x0，y0)，则y20=2x0. |PQ|2=（x0-3）2+ y220= x0-4x0+9=(x0-2)2+5， ∴当x0=2，y0=±2时，|PQ|2取最小值5， 故当P点坐标为（2，±2）时，|MN|取最小值2305.