平面向量
从近几年高考来看，平面向量有以下几个考查特点：1.向量的加法，主要考查运算法则、几何意义；平面向量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容，主要考查运算能力和灵活运用知识的能力；试题以选择、填空形式出现，难度中等偏下.2.平面向量与三角函数、解析几何相结合，以解答题形式呈现，难度中等．
1． 平面向量中的五个基本概念
(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为|a|(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．
(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量． (5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影． 2． 平面向量的两个重要定理
(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
3． 平面向量的两个充要条件
若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： (1)a∥b a＝λb x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b a²b＝0 x1x2＋y1y2＝0. 4． 平面向量的三个性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a²a＝x＋y. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 →
|AB|2
2
a
x2－x1＋y2－y1.
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，
a²bx1x2＋y1y2
则cos θ＝2222.
|a||b|x1＋y1x2＋y2
考点一 平面向量的概念及线性运算
12→
例1 (1)(2013²江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝
23
→→
λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
→→→→→→→
(2)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，OA＋AB＋AC＝0且|OA|＝|AB|，则向量CA在CB上的投影为
( )
A.3 B．3 C3 D．－3 1
答案 (1) (2)A
2
→→→1→2→1→2→→
解析 (1)如图，DE＝DB＋BE＝AB＝AB＋AC－AB)
23231→2→121
＋AC，则λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝63632→→→
(2)由OA＋AB＋AC＝0， →→→得AB＋AC＝AO.
又O为△ABC外接圆的圆心，OB＝OC， ∴四边形ABOC为菱形，AO⊥BC. →→
由|OA|＝|AB|＝2， 知△AOC为等边三角形．
π→→→
故CA在CB上的投影为|CA|cos∠ACB＝2cos ＝
3.
6
在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算就类似于
代数中合并同类项的运算；有的问题采用坐标化解决更简单．
(2)运用向量加减法解决几何问题时，要善于发现或构造三角形或平行四边形，使用三角形法则时要特别注意“首尾相接”．运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合．
→→→→→→
已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成
立，则m的值为 A．2
( )
B．3 C．4 D．5
→→→→→
(2)如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°， →
OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝3，若OC＝λOA＋μOB
(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________． 答案 (1)B (2)6
→→→
解析 (1)∵MA＋MB＋MC＝0，∴点M是△ABC的重心． →→→
∴AB＋AC＝3AM，∴m＝
3.
→→→→→→→
→→→→→→
(2)方法一 如图，OC＝OB1＋OA1，|OB1|＝2，|OA1|＝|B1C|＝4， →→→∴OC＝4OA＋2OB. ∴λ＋μ＝6.
→→→→→2→→
方法二 由OC＝λOA＋μOB，两边同乘OC，得OC＝λOA²OC＋0，∴λ＝4. →→→→∴OC＝4OA＋μOB，两边同乘OA， →→→→得OC²OA＝4＋μOA²OB， 1
即3＝4＋()μ.∴μ＝2.
2∴λ＋μ＝6.
方法三 以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，
则A(1,0)，C3cos 30°，3sin 30°)，B(cos 120°，sin 120°)． 13
即A(1,0)，C(3，3)，B(－，)．
221
λ－＝3， 2→→→
由OC＝λOA＋μOB得，
3 2＝3.
μ＝2
∴ λ＝4
→
.∴λ＋μ＝6.
考点二 平面向量的数量积
例2 (1)(2012²江苏)如图，在矩形ABCD中，AB2，BC＝2，点E为
BC的中点，点F在边CD上，若AB²AF＝2，则AE²BF的值是
________．
(2)若a，b，c均为单位向量，且a²b＝0，(a－c)²(b－c)≤0，则|a＋b
－c|的最大值为 A.2－1 C.2
( )
→→→
B．1 D．2
答案 (1)2 (2)B 解析 (1)方法一 坐标法．
以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则
A(0,0)，B
(
2，0)，E2，1)，F(x,2)．
故→AB＝(2，0)，→AF＝(x,2)，→
AE＝(2，1)， →
BF＝(x－2，2)，
∴→AB²→
AF＝(2，0)²(x,2)＝2x. 又→AB²→
AF＝2，∴x＝1. ∴→
BF＝(1－2，2)．
∴→AE²→
BF＝(2，1)²(1－2，2)＝2－2＋22. 方法二 用→AB，→BC表示→AE，→
BF是关键． 设→DF＝xAB→，则→CF＝(x－1)→AB.
→
AB²AF→＝AB→²(AD→＋DF→
)
＝→AB²(→AD＋xAB→)＝xAB→2
＝2x， 又∵→AB²→
AF2，∴2x＝2， ∴x22.∴→BF＝→BC＋→CF＝→BC＋ 2 21 →
AB. ∴→AE²→BF＝(→AB＋→BE)² → BC＋ 2 → 2－1 AB
＝ → AB＋1→2 → BC＋ 2 21 → AB
＝ 2 2－1 →
AB21→22
＝
2 2－1
1
³2＋22.
(2)方法一 由题意知a2
＝b2
＝c2
＝1， 又a²b＝0，
∵(a－c)²(b－c)＝a²b－a²c－b²c＋c2
≤0， ∴a²c＋b²c≥c2
＝1，
∴|a＋b－c|2