4． 平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中，在三角函数问题中平面向
量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系.
→1． 已知两点A(1,0)，B(13)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝120°，设OC
→→
＝－2OA＋λOB(λ∈R)，则λ等于 A．－1 答案 C
解析 根据∠AOC＝120°，
可知点C在射线y3x(x<0)上，设C(a3a)， 则有(a，－3a)＝(－2,0)＋(λ，3λ)＝(－2＋λ3λ)， 即得a＝－2＋λ3a＝3λ，消去a，得λ＝1.
ππ
2． 函数y＝tan(x－x<4)的图象如图所示，A
为图象与x轴的交
42
( )
B．2 C．1 D．－2
点，
→→→
过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则(OB＋OC)²OA＝ ______. 答案 8
→
解析 A点坐标为(2,0)，即OA＝(2,0)，
ππ
由y＝tan(x的图象的对称性知A是BC的中点．
42→→→
∴OB＋OC＝2OA，
→→→→→→2
∴(OB＋OC)²OA＝2OA²OA＝2³|OA|＝8.
3． 在△ABC中，向量m＝(2cos B,1)，向量n＝(1－sin B，－1＋sin 2B)，且满足|m＋n|
＝|m－n|. (1)求角B的大小；
(2)求sin A＋sin C的取值范围．
解 (1)由|m＋n|＝|m－n|，可知m⊥n m²n＝0. 然而m＝(2cos B,1)，n＝(1－sin B，－1＋sin 2B)， 所以有m²n＝2cos B－sin 2B－1＋sin 2B＝2cos B－1＝0， 1
得cos B＝B＝60°.
2
33
(2)sin A＋sin C＝sin A＋sin(120°－A)A＋A3sin(A＋30°)．
22又0°<A<120°，则30°<A＋30°<150°， 1
<sin(A＋30°)≤1. 23
<sin A＋sin C≤3， 2
3
，3]． 2
即sin A＋sin C的取值范围是一、选择题
1． 下列命题中正确的是
( )
A．若λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0 B．若a²b＝0，则a∥b
C．若a∥b，则a在b上的投影为|a| D．若a⊥b，则a²b＝(a²b) 答案 D
2
解析 根据平面向量基本定理，必须在a，b不共线的情况下，若λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0；选项B显然错误；若a∥b，则a在b上的投影为|a|或－|a|，平行时分两向量所成的角为0°和180°两种；a⊥b a²b＝0，(a²b)＝0.
2． (2012²四川)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是
|a||b|( )
A．a＝－b C．a＝2b 答案 C
解析 利用向量的相等与共线知识解决．
B．a∥b
D．a∥b且|a|＝|b|
2
ab
aba表示与a表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有|a||b||a|
＝
b
，观察选择项易知C满足题意． |b|
→→
3． (2013²湖北)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量AB在CD方向上
的投影为 ( ) A.32
2
315B.
2315D．－2
32C. －
2答案 A
→→
解析 AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，
→→
AB²CD2³5＋1³5→→
∴AB在CD方向上的投影为＝22
→5＋5|CD|＝
32
25215
→→
4． (2013²福建)在四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )
A.5 答案 C
→→
解析 ∵AC²BD＝0， ∴AC⊥BD.
1→→1
∴四边形ABCD的面积S＝|AC||BD|＝5³25＝5.
22
B．25 C．5 D．10
5． (2013²湖南)已知a，b是单位向量，a²b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的
取值范围是
( )
B．2－12＋2]
A．2－12＋1] C．[1，2＋1] 答案 A
D．[12＋2]
解析 ∵a²b＝0，且a，b是单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又∵|c－a－b|＝c－2c²(a＋b)＋2a²b＋a＋b＝1， ∴2c²(a＋b)＝c＋1.
∵|a|＝|b|＝1且a²b＝0，∴|a＋b|＝2， ∴c＋1＝22|c|cos θ(θ是c与a＋b的夹角)． 又－1≤cos θ≤1，∴0<c＋1≤22|c|， ∴c－2|c|＋1≤0， ∴2－1≤|c|≤2＋1.
→→→
6． 若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM＝AB＋3AC，则△ABM与△ABC的面积比
为
D.
925
( )
2
2
2
22
2
2
2
1
A. 5答案 C
2
B. 53
C. 5
解析 设AB的中点为D，
→→→→→→→由5AM＝AB＋3AC，得3AM－3AC＝2AD－2AM， →→即3CM＝2MD.
如图所示，故C，M，D三点共线， →3→且MD＝，
5
也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5， 3
则△ABM与△ABC的面积比为.
5二、填空题
7． (2013²安徽)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．
1
答案 －
3
解析 由已知条件得a＝(a＋2b)，即a²b＝－|b|，
2
2
2
a²b1
cos〈a，b＝－|a||b|3
8． (2013²北京)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若
c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则________.
答案 4
解析 以向量a和b的交点为原点建直角坐标系，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，根据c＝λa＋μb (－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋1λ
2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－，故4.
2μ
→→
9． 给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为90°.如图所示，
→→→
点C在以O为圆心的圆弧AB上运动．若OC＝xOA＋yOB，其中x、y∈R， 则x＋y的最大值是________． 答案
2
λμ
解析 设∠AOC＝α，则∠COB＝90°－α，
x＝cos α→→→
∴OC＝cos α²OA＋sin α²OB，即