＝a2
＋b2
＋c2
＋2a²b－2a²c－2b²c ＝3－2(a²c＋b²c)≤1， ∴|a＋b－c|≤1.
方法二 设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，
则x2
＋y2
＝1，a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x,1－y)，则(a－c)²(b－c)＝(1－x)(－x)＋(－y)(1－y) ＝x2
＋y2－x－y＝1－x－y≤0，即x＋y≥1.
又a＋b－c＝(1－x,1－y)， ∴|a＋b－c|＝x－12
1－x＋1－y
＋y－12
＝3－2x＋y≤1.
涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路：
①直接利用数量积的定义； ②建立坐标系，通过坐标运算求解．
(2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算．
求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方．
→→→→→→
(1)(2013²山东)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋→
AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．
→→→→→→→→1
(2)(2013²重庆)在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|＝|OB2|＝1，AP＝AB1＋AB2.若|OP|<，则
2→
|OA|的取值范围是
( )
→→
A. 0C.
5 2
B. D.
7 5
， 2 2
5
，2 2 7
，2 2
7
答案 (1) (2)D
12
→→→→
解析 (1)由AP⊥BC知AP²BC＝0， →→→→→→即AP²BC＝(λAB＋AC)²(AC－AB) →→→2→2
＝(λ－1)AB²AC－λAB＋AC
1＝(λ－1)³3³2³ －－λ³9＋4＝0， 2
7
解得λ＝.
12→→(2)∵AB1⊥AB2，
→→→→→→∴AB1²AB2＝(OB1－OA)²(OB2－OA) →→→→→→→2
＝OB1²OB2－OB1²OA－OA²OB2＋OA＝0， →→→→→→→2∴OB1²OB2－OB1²OA－OA²OB2＝－OA.
→→→∵AP＝AB1＋AB2.
→→→→→→∴OP－OA＝OB1－OA＋OB2－OA， →→→→∴OP＝OB1＋OB2－OA. →→
∵|OB1|＝|OB2|＝1，
→2→2→→→→→→∴OP＝1＋1＋OA＋2(OB1²OB2－OB1²OA－OB2²OA) →2→2→2
＝2＋OA＋2(－OA)＝2－OA，
→1→21→21∵|OP|<OP|<，∴0≤2－OA<
2447→2 7 →
∴<OA≤2，即|OA|∈ 2 . 4 2 考点三 平面向量与三角函数的综合应用
例3 已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x
＋2cos α)，其中0<α<x<π. (1)若α＝
π
，求函数f(x)＝b²c的最小值及相应x的值； 4
π
(2)若a与b的夹角为，且a
⊥c，求tan 2α的值．
3
应用向量的数量积公式可得f(x)的三角函数式，然后利用换元法将三角
函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的x值．
(2)由夹角公式及a⊥c可得关于角α的三角函数式，通过三角恒等变换可得结果． 解 (1)∵b＝(cos x，sin x)，
c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，α
∴f(x)＝b²c
＝cos xsin x＋2cos xsin α＋sin xcos x＋2sin xcos α ＝2sin xcos x＋2(sin x＋cos x)． 令t＝sin x＋cos x
2
π4
π<x<π ，
4
则2sin xcos x＝t－1，且－1<t2. 则y＝t＋2t－1＝ t∴t＝－
2
2 23
－，－1<t2， 2 2
232时，ymin＝－sin x＋cos x＝－， 222
2 π即2sin x＋＝－
4 2 πππ5
∵<x<πx＋<π， 4244π711π∴xπ，∴x＝4612
311π∴函数f(x)的最小值为－，相应x的值为212π
(2)∵a与b的夹角为，
3
πa²b∴cos cos αcos x＋sin αsin x＝cos(x－α)．
3|a|²|b|π
∵0<α<x<π，∴0<x－α<π，∴x－α3
∵a⊥c，∴cos α(sin x＋2sin α)＋sin α(cos x＋2cos α)＝0， π ∴sin(x＋α)＋2sin 2α＝0，即sin 2α＋＋2sin 2α＝0. 3 533
∴sin 2α＋α＝0，∴tan 2α＝－. 225
在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函
数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解
决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．
3 a＝ sin x，，b＝(cos x，－1)．
4
(1)当a∥b时，求cosx－sin 2x的值；
(2)设函数f(x)＝2(a＋b)²b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a3，b＝2，sin B＝
6ππ
，求f(x)＋4cos(2A＋)(x∈[0，])的取值范围． 363
2
33
解 (1)∵a∥b，∴cos x＋sin x＝0，∴tan x44cosx－2sin xcos x1－2tan x8
∴cosx－sin 2x＝＝. 222
sinx＋cosx1＋tanx5
2
2
π 3 (2)f(x)＝2(a＋b)²b2sin 2x＋ ＋
4 2 由正弦定理
b2π
sin A，∴Asin Asin B24
a
π π 1 ∴f(x)＋4cos 2A＋ ＝2sin 2x＋ － 6 4 2 πππ11π
∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，．
34412∴
3π1f(x)＋4cos(2A＋)≤2262
1． 当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表
→→→示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易出错，向量AB＝OB－OA (其中O为任意一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．
2． 根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条
对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直．
3． 两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角
可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．