2014年1月期末试题分类汇编——几何综合
（2014·石景山1月期末·25）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转,旋转角为
，旋转后使各边长变为原来的n倍，得到△AB C ,我们将这种变换 （0 90 ）
记为[ ,n]．
（1）如图①,对△ABC作变换[60,]得△AB C ，则S△AB C ：S△ABC
= ___；直线BC与直线B C 所夹的锐角为 __ °；
（2）如图②，△ABC中， ACB 90, BAC 30，AC 3，对△ABC 作变换
[ ,n]得△AB C ，使得四边形ABB C 为梯形，其中AB∥B C ,且梯形
ABB C 的面积为123，求 和n的值．
25. 解：（1
………………………………………2分 （2） 由题意可知：△AB C ∽△ABC
AC B C
nACBC
AB//B'C', BAC' 90
C C 90 ,
在Rt△ABC中,AB
90 - BAC 60 ……………………………4分
AC1
2，BC AB 1
cos30 2
AC' 3n,BC n………………………………5分
在直角梯形ABB C 中，
1
AB B C AC 21
2 nn 12…………………………6分
2
n 4,n 6 舍去 ………………………………7分
S
60,n 4
（2014·西城1月期末·24）已知：△ABC，△DEF都是等边三角形，M是BC与EF的中
点，连接AD，BE.
（1）如图1，当EF与BC在同一条直线上时，直接写出AD与BE的数量关系和位置关系； （2）△ABC固定不动，将图1中的△DEF绕点M顺时针旋转 （0o≤ ≤90o）角，
如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，
说明理由；
（3）△ABC固定不动，将图1中的△DEF绕点M旋转 （0o≤ ≤90o）角，作DH⊥BC
于点H．设BH＝x，线段AB，BE，ED，DA所围成的图形面积为S．当AB＝6，DE＝2时，求S关于x的函数关系式，并写出相应的x的取值范围．
AD
，AD BE． ........................................................................................ 2分 BE图2 （2）证明：连接DM，AM．
在等边三角形ABC中，M为BC的中点，
1AM
∴ AM BC， BAM BAC 30 ，
2BM
24．（1
）
∴ BME EMA 90 ．
DM
同理， AMD EMA 90 ．
EM∴
AMDM
， AMD BME． ········ 3分
BMEM
∴ △ADM ∽△BEM．
ADDM∴ ............................................................................... 4分
BEEM
延长BE交AM于点G，交AD于点K． ∴ MAD MBE， BGM AGK． ∴ GKA AMB 90 ． ∴ AD BE． ........................................................................................... 5分
（3）解：(ⅰ)当△DEF绕点M顺时针旋转 (0o≤ ≤∵ △ADM ∽△BEM， SAD2∴ ADM () 3．
S BEMBE
1
∴ S BEM S ADM
3
∴ S S ABM S ADM S BEM S DEM
2
S ABM S ADM S DEM
3
1211
3 x 3) 1 2322．
∴
S （3≤x
≤3 ...................................................... 6分 (ⅱ) 当△DEF绕点M逆时针旋转 (0o≤ ≤90o)角时，可证△ADM∽△BEM， SBM21 ∴ BEM () ．
S ADMAM3
1
∴ S BEM S ADM．
3
∴ S S ABM S BEM S ADM S DEM
2
S ABM S ADM
S DEM
3
21 x)
32 ．
∴
S
(3≤x≤3)．
综上，S
(3≤x
≤3． ....................................................... 7分
（2014·海淀1月期末·24）已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形 ，且AB>CE．
（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG=DE； （2）如图2，如果正方形ABCD
CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG//BD，BG=BD. ①求 BDE的度数；
②请直接写出正方形CEFG的边长的值.
A
D
A
F
D
B
图2
B
图1 24. （本小题满分7分）
解：（1）证明：
C
C
F
∵四边形ABCD和CEFG为正方形，
∴BC DC，CG CE， BCD GCE 90 . ∴ BCD DCG GCE DCG.
即： BCG DCE. ……………………1分
A
D
F
B
C
∴△BCG≌△DCE.
∴BG DE.………………………………2分
（2）①连接BE .
由（1）可知：BG=DE. ∵CG//BD，
∴ DCG= BDC 45 .
∴ BCG BCD GCD 90 45 135 .
∵ GCE 90 ,
∴ BCE 360 BCG GCE 360 135 90 135 . ∴ BCG= BCE.…………………………3分 ∵BC BC，CG CE, ∴△BCG≌△BCE.
∴BG BE.………………………………4分
∵BG BD DE,
∴BD BE DE. ∴△BDE为等边三角形.
∴ BDE 60 . …………………………5分
②正方形CEFG
1. ……………………………………………7分
（2014·朝阳1月期末·25）将△ABC绕点B逆时针旋转α(0°＜α＜180°)得到△DBE，直线DE与直线AC相交于点F，连接BF． （1）如图1，若α=60°，DF=2AF，请直接写出（2）若DF=mAF，（m>0，且m≠1）
AF
等于 ； BF
AF
；（用含α，m的式子表示） BF
AF
②如图3，依题意补全图形，请直接写出等于 ．（用含α，m的式子表示）
BF
①如图2，求
图1 图2 图3
25.解：（1）1． ………………………………1分 （2）①如图2，在DF上截取DG，使得DG=AF，连接BG．
由旋转知，DB=AB，∠D=∠A．
∴△DBG≌△ABF．
图2
∴BG=BF，∠GBF=α． ………………3分 过点
B
作
BN
⊥GF于点N，
注明：以上各题的其它的正确解法，酌情给分.
（2014·东城1月期末·24）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合