∴Rt△AG E'∽Rt△FA E'. ∴
AE E F
E GAE
∴E F 7.
∴BF E F E B 5. 由（2）知：DE BF 2ME.
∴ME
7
. ………………………………………………………… 8分 2
（2014·怀柔1月期末·24）（1）如图1，在等边△ABC中，点M是边BC上的任意一点（不
含端点B、C），联结AM，以AM为边作等边△AMN，联结CN．求证：∠ABC=∠ACN．
【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是边BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是边BC上的任意一点（不含端点B、C），联结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．联结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
B
图1
图2
C
B
图3
24.（（本小题满分7分）
B
图1
图2
C
B
图3
（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN， ∴△BAM≌△CAN（SAS），………………………………1分 ∴∠ABC=∠ACN．………………………………2分
（2）结论∠ABC=∠ACN仍成立．………………………………3分 理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN， ∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，
∴△BAM≌△CAN（SAS），………………………………4分 ∴∠ABC=∠ACN．………………………………5分 （3）∠ABC=∠ACN．
理由如下：∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，
∴底角∠BAC=∠MAN，∴△ABC∽△AMN，……………………6分 ∴
=
，又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM∽△CAN，
∴∠ABC=∠ACN．………………………………7分
（2014·顺义1月期末·24）如图，△ABC和△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三
角形，连结BD，BE，CE，延长CE交AB于点F，交BD于点G． （1）求证：△AFC∽△GFB；
A
C（2）若△ADE是边长可变化的等腰直角三角形，并将
D
使CE的延长线始终与线段△ADE绕点A旋转，
BD（包括端点B、D）相交．当△BDE为等腰直角三角形时，求出AB∶BE的值．
G
24．解：（1）证明：∵ BAC 90°， DAE 90°，
∴ DAB BAE BAE EAC 90°．
∴ DAB EAC．…………………………………………………1分 ∵AD AE，且AB AC， ∴△ADB≌△AEC，
∴ DBA ECA．…………………………………………………2分 又 GFB AFC， …………………………………………… 3分 ∴△AFC∽△GFB．………………………………………………4分
（2）解：∵△AFC∽△GFB，
∴ FGB FAC 90°．
①当 DEB 90°，DE=BE时，如图①所示，
A
C 设AD=AE=x
，则DE ． D
∵△BDE为等腰直角三角形，
E∴BE DE ．
G
∴BD 2x．
∵ ADB ADE EDB 45°+45 90° 图①
∴AB
．
∴AB∶BE=． ……………………………………………5分
②当 EDB 90°，DE=DB时，如图②所示， 同理设AD=AE=x
，则DE BD． ∴BE 2x． ∵ AEB 90°，
∴AB
A
C
D(G) ．
2． ……………… 6分
∴AB∶BE= 图②
③当 DBE 90°，BD=BE时，如图③所示，
同理设AD=AE=x
，则DE ∴BD=BE=x．
∴四边形ADBE是正方形，
∴AB DE
C
A
．
D
E
．
(G(F)
∶BE=∴AB1． …………7分 图③
（2014·延庆1月期末·24）如图①，已知点O为菱形ABCD的对称中心，∠A=60°，将等边△OEF的顶点放在点O处，OE ，OF分别交AB，BC于点M ，N. （1）求证：OM=ON；
（2）写出线段BM ，BN与AB之间的数量关系，并进行证明；
（3）将图①中的△OEF绕O点顺时针旋转至图②所示的位置，请写出线段BM ，BN
24.
（1）证明：取BC的中点G，连接OG ∵菱形ABCD,∠A=60°
∴∠A=∠C=∠ABD=60°,AB=BC=CD=DA……1分 ∵点O为菱形ABCD的对称中心 ∴OD=OB
A
与AB之间的数量关系，并进行证明.
A
C
图①
图②
C
1
∴OG CD，OG//CD ………………2分
2
∴∠BGO=∠C=60°, OG=OB
∵等边△OEF ∴∠EOF=60° ∴∠1=∠2 ∵∠BGO=∠ABD=60° ∴△OBM≌△OGN
∴OM=ON ………………3分 (2)由（1）可知，BM=NG
∵OB=OD，BG=GC ∴BG
1
BC
2
1
∵BG=BN+NG，AB=BC ∴BN NG AB ………………5分
（3）取BC中点G ∴BM=GN ∴BG=BN-NG ∵BG 12BC
2
同理可证：∴△OBM≌△OGN ………………6分
BN NG 1
2
AB ………………7分 ∴