放置，其中 C 90 , B E 30 .
（1）操作发现
如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C顺时针旋转．当点D恰好落在
AB边上时，填空：
图1 图2 ① 线段DE与AC的位置关系是 ；
② 设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是，证
明你的结论； （2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．
图3
24．解：（1）①线段DE与AC的位置关系是． …………………..1分 ②S1与S2的数量关系是 相等 ．
证明：如图2，过D作DN⊥AC交AC于点N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M，过C作CF⊥AB交AB于点F．
由①可知 △ADC是等边三角形，DE∥AC， ∴DN=CF, DN=EM． ∴CF=EM．
∵ ACB 90 , B 30 ，
∴AB 2AC． 又∵AD AC,
∴BD AC． 图2
11
∵S1 CF BD，S2 AC EM，
22∴S1=S2． …………………..3分
（2）证明：如图3，作DG⊥BC于点G，AH⊥CE交EC延长线于点H.
∵ DCE ACB 90 , DCG ACE 180 ． 又∵ ACH ACE 180 , ACH DCG．
又∵ CHA CGD 90 ,AC CD,
∴△AHC≌△DGC．
∴AH=DG．
又∵CE=CB, 图3 ∴S1 S2． ……………………..7分
（2014·丰台1月期末·25）已知 ABD和 CBD关于直线BD对称(点A的对称点是点
点E、F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，C)，
联结AF、AE，AE交BD于点G．
（1）如图（1），求证： EAF ABD； （2）如图（2），当AB AD时，M是线段AG上一点，联结BM、ED、MF，MF
的延长线交ED于点N， MBF
12
试探究线段FM
和 BAF，AF AD，
23
FN之间的数量关系，并证明你的结论．
F
FC
图（1） 图（2）
25. (1)证明：如图1 连接FE、FC
∵点F在线段EC的垂直平分线上,
∴ FE=FC ∴∠l=∠2 ………………………1分
∵△ABD和△CBD关于直线BD对称． ∴AB=CB ,∠4=∠3，又BF=BF
∴△ABF≌△CBF， ∴∠BAF=∠2，FA=FC
∴FE=FA，∠1=∠BAF． …………………………2分 ∴∠5=∠6，
∵ ∠l+∠BEF=1800，∴∠BAF+∠BEF=1800
∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=3600
∴∠AFE+∠ABE=1800 ………………………………3分 又∵∠AFE+∠5+∠6=1800 ， B
∴∠5+∠6=∠3+∠4 ∴∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD………………………4分
(2)解：FM=
D
7
FN ……………………………………………5分 2
B
证明：如图2，由(1)可知∠EAF=∠ABD，
又∵∠AFB=∠GFA ∴△AFG∽△BFA ∴∠AGF=∠BAF
又∵∠MBF=
11
∠BAF，∴∠MBF=∠AGF 22
又∵∠AGF=∠MBG+∠BMG∴∠MBG=∠BMG
∴BG=MG…………………………6分 ∵AB=AD ∴∠ADB=∠ABD=∠EAF
又∵∠FGA=∠AGD．∴△AGF∽△DGA．
D
GFAGAF
GADGDA
2GFAG2∵AF=AD 图2
3GADG3
设GF=2a，则AG=3a， ∴GD=
995a，∴FD=DG-GF=a 2a=a 222
∵∠CBD=∠ABD ，∠ABD=∠ADB，∴∠CBD=∠ADB. ∴BE//AD．∴
BGEGEGAG2
，设EG=2k，则MG=BG=3k GDAGBGGD3
过点F作FQ∥ED交AE于Q，
4GQGF2a4
……………………7分 GQ QE
5a5QEFD52
4881035∴GQ=EG=k．∴QE=k， MQ=MG+GQ=3k+k=k
99999
35k
7MFMQ7
∵FQ∥ED， .∴FM=FN……………8分
2FNQEk2
9
（2014·昌平1月期末·25）已知：四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，点E是射线CD上的一个动点（与C、D不重合），将△ADE绕点A顺时针旋转120°后，得到△ABE'，连接EE'. （1）如图1，∠AEE'= °；
（2）如图2，如果将直线AE绕点A顺时针旋转30°后交直线BC于点F，过点E作EM
∥AD交直线AF于点M，写出线段DE、BF、ME之间的数量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，如果CE=2，AE
=ME的长.
D E'
B
DF图3
E'B
图2
FC
E'
B
图1
25．解：(1) 30°. …………………………………………………… 1分 (2)
当
点
E
在
线
段
CD
上
时
，
DE BF 2ME； ………………………………………… 2分
当点E在CD的延长线上，
0 EAD 30 时，BF DE 2ME； ………………… 3分 30； 90 EAD 120 时， EAD 9 0时，DE BF 2ME. …………………………………………4分 DE BF 2ME
(3)作AG BC于点G, 作DH BC于点H.
由AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，得∠ABC=∠DCB=60°，
易知四边形AGHD是矩形和两个全等的直角三角形 ABG， DCH.
则GH=AD , BG=CH. ∵ ABE ADC 120 , ∴点E 、B、C在一条直线上.
E'
B
G
FHQ1
设AD=AB=CD=x,则GH=x,BG=CH=x,.
2
作EQ BC于Q.
在Rt△EQC中，CE=2, C 60 , ∴CQ
1, EQ ∴E'Q=BC CQ BE 2x 1 x 2 3x 3.…………………………………5分 作AP EE 于点P.
∵△ADE绕点A顺时针旋转120°后，得到△ABE'.
∴△A EE'
是等腰三角形， AE E 30 ,AE AE . ∴在Rt△AP E'中，
∴EE'=2
E'P= ……………………………………………………………………6分
∴在Rt△EQ E'中，
9. ∴3x 3 9.
∴x 4. ………………………………………………………… 7分 ∴DE BE 2,BC 8，BG 2. ∴E G 4
在Rt△E'AF中,AG BC,