建议教师在条件允许的情况下，积极创造条件，开设”数学史选讲”这一课程，把他作为提升个人专业素养的一个重要渠道。
五、文献参考
[1] 李文林：数学史概论，高等教育出版社，2002
[2] 李文林：文明之光——图说数学史，山东教育出版社，2005
[3] 张顺燕：数学的源与流，高等教育出版社，2000
[4] 张顺燕：数学的美与理，北京大学出版社，2004
[5] M. 克莱因：古今数学思想，张理京等译，上海科学技术出版社，1979
[6] A. 亚历山大洛夫等，数学——它的内容、方法和意义，孙小礼等译，1958
[7] M. 克莱因：现代世界中的数学，齐民友等译，上海教育出版社，2004
2.2 信息安全与密码
一、背景
进入21世纪，“信息”是我们听到或看到最多的词汇之一。我们天天都在与信息打交道，比如收发信件、听报告、采集数据、看照片、影视等等，交流信息的方式也是多种多样的，如当面交谈、电话交流、发送电报、手语、旗语等．现在还可以用电子邮件、可视电话等方式来交流和传递信息．
有些信息是公开的，大家都可以知道．但是，也有一些信息是需要保密的，比如银行里的存款，仅仅希望自己人知道，不希望让“外人”知道。政治、军事、外交、金融等活动中，信息安全更是一件特别重要的事情.
为了保证信息的安全，在信息传递的过程中，经常要使用密码，进行保密通信。通过本专题的学习，我们将了解信息安全的基本原理、基本方法以及在社会发展中的重要意义，并了解数学在信息安全中不可替代的作用。
二、知识结构和内容定位
1．知识结构框图
2．内容定位
在本专题中，以下几点是需要特别注意的。
1）认识映射（函数）在信息安全中的作用。
当甲、乙双方传递信息时，为了不使信息被第三者知道，通常的作法是用密码对信息加密。比如，5是一个信息，甲要把5告诉乙，甲在发送信息之前，先将5加3，然后将8传输给乙。乙收到加密后的信息8，再用8减去3就可以获取原来的信息。加3是加密的过程，减3是解密的过程，加3和减3是甲、乙事先约定好的，这个过程可以用图示清晰地表示出来。
在解决这件事情的过程中，加密和解密是最重要的。自古以来，人们发明了
许多加密和解密的方法。由于人们不断地寻求破译加密信息的方法，所以对密码的信息安全性能的要求不断提高。加密和解密的方法在不断地发展。
从上图不难看出，加密的过程其实就是映射（函数）作用的过程。加密就是把函数作用在信息上，得到函数值（加密的信息）的过程；解密的过程其实就是函数反作用的过程，就是把函数值（加密的信息）还原成自变量的值（原来的信息）的过程。
不难看出，‘加密函数’和‘解密函数’是互为反函数的，显然，‘加密函数’是一个一一对应的映射，这样就可以保证“加得上去”也能“解得下来”。
人们希望‘加密函数’要简单，即加密要容易；解密时，对知道密码的人要容易；对不知道密码的人要很困难，甚至无法解密。要得到这样的‘加密函数’和‘解密函数’，靠的是数学中函数的思想。
2）单向函数与公开密钥原理
由上可知，加密函数和解密函数是互为反函数的，即，加密函数是一个一一对应的映射，记作f，它存在反函数f-1，显然有：f-1（f(x)）=x。如果能找到这样一种加密函数f（加密密码），即使把它公开，人们也无法在我们希望的有限时间内确定它的反函数f-1（解密密码）。也就是说，如果我们把加密函数公开，人们也无法找到解密函数来破解密码，我们把这样的加密函数称为单向函数。
在一般的密码体制中，通讯双方要记住彼此的加密密码和解密密码。例如，n=100个单位要相互传输信息，则每个单位都需要记住99对加密、解密的密码。
2整个系统需要c100（约等于5000）对加密、解密密码。而且还常常需要更换密码，
以加强保密功能。如果单位的个数n更大，情况就更复杂。
有了单向函数就可以把加密函数（密码）公开，所有公开的加密函数编成一个加密函数（密码）本，供人们查阅。对于100个单位只需要公开100个加密函数（密码），而每一个单位只需要记住一个解密函数（密码）就可以了。我们把这种体制称为公开密钥体制。
公开密钥系统的具体工作原理如下：
用户Ａ需要把信息ｘ发给用户B，操作程序如下：
i．用户Ａ在公开的加密密码本上查找到B的加密密钥f；
ii．用户A用f对信息ｘ进行加密，得到ｙ＝f（ｘ），并将密文ｙ发给用户B；
iii．用户B收到密文ｙ，用自己的解密密钥f-1进行解密，得到
f-1（ｙ）＝f-1（f（ｘ））＝ｘ。
这样，用户B就收到了用户Ａ发来的信息ｘ。
其他人即使知道密文ｙ是发给用户B的，也能查到B的加密密钥f，但是由于从f求f-1非常困难，在需要的保密时间内是不能把ｙ恢复成明文ｘ的。
采用这种公开密钥体制，大大减少了每个单位保存的密钥数量，从而可以减少很多失误。保密通信体系的信息安全水平因此大大提高。
3）在学习本专题的过程中，需要掌握常见的密码，例如，恺撒码、转置码、流密码、RSA公钥体制、离散对数公钥方案等，重要的是学会运用这些密码，但是，要想弄懂这些密码的数学原理是比较困难的事情，需用到数论的有关知识，对一般的学生，重要的是理解信息安全的基本原理。有兴趣的同学可以进一步搞清楚这些数学原理，对于提高他们的数学素养是非常好的一种训练。
三、重、难点
本专题的重、难点是理解保密通信的基本形式和公开密钥原理。
四、教学要求
1）在本专题的教学中，应该把理解保密通信的基本形式和公开密钥原理放在重要的位置上，不要把过多的精力放在数学推导上，可以针对学生的不同情况提出不同的要求，对于感兴趣的同学可以引导他们掌握数学原理。
2）在本专题的教学中，可以设置一些活动，通过操作、实践来帮助学生理解保密通信的基本形式和公开密钥原理。
3）在本专题的教学中，对于数论的知识一定要把握好“度”，能掌握的同学就掌握，不必对全体学生作统一要求。
4）在本专题的教学中，要引导学生写好读书报告，这是提高数学素养的重要手段，希望老师在这方面要下功夫。
五、文献参考
[1] 闵嗣鹤 严士健：初等数论（第三版），高等教育出版社，2003