二、知识结构和内容定位
1．知识结构框图
2．内容定位
１）本专题首先给出大量的图形，特别是对称图形。让学生认识到在自然 界存在着大量的对称现象。然后让学生从直观上认识到不同图形的对称性是有差异的。从而产生问题：如何描述具有不同对称性的图形？
2）先从具体的图形出发，例如，正三角形、正方形、正五边形等，先引入学生熟知的对称变换：轴对称变换。通过对它的分析，再针对不同图形，引入反射、平移、滑动反射这几种对称变换。
3）再从一个图形对称变换的多少来说明该图形对称性的‘好坏’。即，认为一个图形的对称变换越多，它的对称性越好。
4）进而针对一些具体的对称图形，讨论这些图形的对称变换之间的关系。引入对称变换合成的概念，给出变换的乘法运算。分析这种乘法运算的性质。并讨论变换的逆变换。在此基础上，说明一个图形的全体对称变换的特性，给
出该图形对称变换群的概念。
三、重、难点
重点：
认识对称变换与对称变换的合成，在此基础上形成群的概念。
难点：
群的一般概念。
四、教学要求
在对称与群的教学过程中，一定要强调从具体图形的对称到抽象的群的 一系列研究过程，分别是：
１）具体的对称图形到具体的对称变换
２）从具体的平面对称变换到平面的一般对称变换
３）从对称变换到对称变换合成
４）从对称变换的合成到建立平面对称变换群
５）从平面对称变换群到群的抽象定义
教师在教学的过程中要注意展示这5个过程，这样就可以给学生一个清 晰的认识群的思路，更能加深学生对与群这样一个抽象概念的理解。
五、文献参考
[1] 段学复：对称
[2] H. 外尔：对称，冯承天等译，上海科技教育出版社，2002
[3] COMAP：数学的原理与实践，申大维等译，高等教育出版社和施普林格出版社，1998
2.5 欧拉公式与闭曲面分类
一、背景
分类是数学的基本思想，例如，用未知数的次数来对方程进行分类，用边 数来对平面上的图形进行分类，用群、环、域来对代数结构进行分类。几何学的主要任务之一也是对图形进行分类。按照不同的原则可以得到不同的分类，例如，利用全等可以对图形分类、利用相似可以对图形分类、利用保距变换也可以对图形进行分类，我们还可以找出对于曲面的分类方法。
当我们把一个图形做变换时，这个图形的一些性质可能不再保持。例如，考虑下面一个圆和圆中两条相互垂直的直径。我们把它压缩，如图：
压缩后，圆变成了椭圆，圆心到圆上的距离相等这一性质不再成立，两条直径也不再垂直。好像原来图形的性质都不再保持了。但是，还是有一些性质没有改变。例如，直线仍变为直线，原来的两条直径的交点仍是这两条直线段的中点。那些在变换下保持不变的性质，看来是图形更本质的性质。
给定一类变换，我们可以问，在这类变换下，几何图形的哪些性质保持不变，这些保持不变的性质构成了和这类变换相关的几何。这种按几何不变性（和不变量）来对几何分类的思想，是现代几何学重要的思想。而过去我们基本上是按研究方法来对几何学进行分类的。如，综合几何、解析几何。
中学学过的欧拉公式在许多变换下是不变的。特别是，它在一种十分一般的变换下不变。这种变换只要求：变换是一一对应的（因此它有逆变换）且变换和逆变换都是连续的。换句话说，我们可以任意地拉伸、扭曲几何图形，只是不许把图形撕裂，也不许把图形中不同的部分粘合在一起。这种变换在数学上叫做拓扑变换。
拓扑学和代数学一样，是现代数学的基础。在本专题中，我们希望学生通过欧拉公式的讨论，对拓扑变换的思想有一点体会，了解用不变性和不变量对几何图形分类的想法。
二、知识结构和内容定位
1．知识结构框图
2．内容定位
1）欧拉公式及其证明
通过合情推理，由大量凸多面体图形归纳而得到欧拉公式：面数-边数+点数=2，我们发现，当把图形拉伸变形时，欧拉公式不会改变。在此基础上，我们可以给出欧拉公式的证明。
2）还有哪些图形满足欧拉公式
如图所示，把一个多面体放进一个球的内部，在多面体中找一个点，然后向外作射线，则每个点都能映在球面上，就好像往多面体内吹气，最后这个多面体就变得跟球“差不多”了。利用这种方法可以给出欧拉公式的不同证明。
除了凸多面体，还有一些空间图形，例如，蹄形磁铁（如图所示），也满足欧拉公式。
事实上，欧拉公式在拓扑变换下是不变的。两个图形，如果存在一个拓扑变换把其中的一个变为另一个，就称这两个图形是‘同胚’的。我们可以得到这样的结论：
①球面满足欧拉公式
②凡是和球面同胚的多面体都满足欧拉公式。
3）有没有不满足欧拉公式的图形
如图所示
这个掏空的长方体与“游泳圈”同胚。由于“游泳圈”无法和球面同胚，这个“长方体”不满足欧拉公式，即，凡是和“游泳圈”同胚的多面体都不满足欧拉公式。
4）欧拉示性数
由上可以看出，同是闭曲面却存在着本质的不同。为了对闭曲面进行分类，我们讨论了亏格和欧拉示性数的概念。
5）几何直观和函数思想
几何直观是本专题的核心。能够很好的把握图形的能力也是我们设置 本专题的目的之一。教师需要帮助学生建立几何直观的能力。
拓扑变换的思想也就是函数思想，它贯穿在本专题的始终。
另外，如前所述，本专题体现的分类思想，对几何来说是本质的，是需要教师和学生深切体会的重要思想。
三、重、难点
重点和难点：
发现欧拉公式和证明欧拉公式的过程。
建立拓扑变换的概念
四、教学要求
1．把合情推理和演绎推理有机的结合起来
发现欧拉公式的过程是一个合情推理的过程，证明的过程是一个演绎推理的过程，希望同学们在这个过程中去体会这两种推理的关系。
2．在教学过程中，帮助学生通过直观感知、操作确认、思辨论证、拓展
应用的过程来学习这部分内容。
3．在教学过程强调空间想象能力，是这部分教学的重要环节。