[2] 万哲先 刘木兰：谈谈密码，人民教育出版社，1985
[3] 冯克勤：初等数论及应用，北京师范大学出版社，2003
[4] COMAP：数学的原理与实践，申大维等译，高等教育出版社和施普林格出版社，1998
[5] 谈祥柏：编码纵横谈，上海教育出版社，1999年
2.3 球面上的几何
一、背景
我们生活在地球上，地球是个球体，现实生活中也有许多球体，很自然的，我们需要了解球体的几何性质，也需要了解球面上图形的几何性质。这些性质的讨论对于航空、大地测量、宇宙飞行等方面的研究是有重要意义的。在17世纪前后，球面几何就已经成为人们关注的一个研究方向。球面几何讨论的问题是球面上点、线的位置关系、度量关系和其他的几何性质。所以，了解和掌握一些基本的球面几何的性质，对于学习和生活都是十分有益的。在中小学的数学学习中，我们更多接触到的是“直的东西”，例如，直线、平面，等等，用代数的语言来说，这些是“线性的东西”，例如，二元一次方程、线性方程组，等等。当然我们也学习了一些“弯曲的东西”，例如，圆、椭圆、抛物线、双曲线，等等，用代数的语言来说，这些就是一元二次方程、二元二次方程，等等。
通过学习球面几何可以提高空间想象能力，前面我们曾经说过空间想象能力、几何直观能力、空间洞察力等等，这些都是非常重要、非常基本的能力，几何课程的目标之一就是要培养学生的这些能力，球面几何是一个很好的载体。
本专题利用综合法来研究球面几何。基本的想法是，把球面几何与平面几何进行类比。我们希望学生能很好地用类比的方法，来学习球面几何。平面几何的性质是我们所熟悉的，我们希望学生通过不断体会球面和平面上图形性质的差异：哪些是相同的？哪些是不同的?在类比的过程中来逐渐感受产生这些差异的
本质原因。
球面几何是与平面几何不同的数学模型。它们都有着广泛的应用。通过本专题的学习应认识到，几何中存在着不同的几何模型，初步认识到可以有不同的非欧几何，它们是有意义的。
二、知识结构和内容定位
1．知识结构框图
和平面几何的类比：
2．内容定位
1）学习平面几何的基本思路是综合几何和图形运动，这也是学习球面几何的基本思路，但是还需要有很好的空间想象力。例如，计算以北京、上海、重庆为顶点的球面三角形的边长和面积，需要根据空间想象力画出空间图形（如下图所示）
2）球面几何的基本概念可以类比平面几何给出
平面上两点的距离：过这两点之间的线段长度。
球面上两点的距离：通过A、B两点的大圆上以A、B为端点的劣弧的长度。对于球面上的任意两点，在数学上可以严格证明过这两点的大圆的劣弧长度是最短的。应该把大圆上这段劣弧的长度看作是这两点的距离。（如图所示）
平面直线：直线没有端点，向两个方向无限延伸。
球面直线：过球面上两点A、B的大圆叫作过A、B两点的球面直线。大圆是封闭的、有限的。（如图所示）
平面上的线段：直线上两点以及这两点之间的部分。
球面上的线段：过球面上两点A、B的大圆的劣弧叫做连接A、B两点的线段。（如图所示）
平面角：过平面上一点A的两条射线AB、AC形成的图形叫做角。
球面角：从球面S上的一点出发的两条大圆半弧所构成的图形叫做球面角。（如图所示）
平面三角形：在平面上，如果三点不在同一条直线上，那么连结三点的线段组成的图形叫做三角形.
球面三角形：在球面S上，如果三点不在同一个大圆上，并且三点中没有对径点，那么由连接三点的大圆的劣弧组成的图形叫做球面三角形。
3）球面几何的基本结论可以类比平面几何得到
相同的性质：
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
边角关系：大角对大边；大边对大角
三角形的全等的判定：SSS ，SAS，ASA
不同性质：
平面上的任意两条直线相交或平行。
球面上任意两条直线都相交。
平面三角形的内角和等于180度。
球面三角形的内角和大于180度。
平面三角形相似的判定：AAA。
球面三角形全等的判定：AAA。
平面三角形的余弦定理：
a2 b2 c2 2bccos A
b2 a2 c2 2accos B
c2 a2 b2 2abcos C
球面三角形边的余弦定理：
cosa cosbcosc sinbsinccos A
cosb cosccosa sincsinacos B
cosc cosacosb sinasinbcos C
平面三角形的正弦定理：
sin Asin Bsin C abc
球面三角形的正弦定理：
三、重、难点
重点：
在球面上建立基本概念
难点：
极三角形和三角形的面积定理
四、教学要求
1．在讲授球面几何时，要先复习平面几何的有关知识。
2．在讲授球面几何中的概念、性质时，要与平面几何中的概念、性质作类比。并且这种类比的方法要贯穿整个球面几何教学的始终。
3．在球面几何的教学中，几何直观，画图的习惯、实物操作、信息技术等，都是帮助学生建立空间想象力的方法。
五、文献参考
sinAsinBsinC sinasinbsinc
[1] 项武义：基础几何学，人民教育出版社，2004
[2] 项武义 王申怀 潘养廉：古典几何学，复旦大学出版社，1986
2.4 对称与群
一、背景
“对称现象”是现实生活中最常见的现象，例如，建筑物的对称性，生物的对称性，化学结构和物理结构的对称性，各种图案的对称性，等等。根据丰富多彩、各式各样的对称形态；人们受到启发，创造出了各种各样的对称图形。如何从数学上来刻画这些“对称现象”呢？“对称”的数学背景是什么呢？
“群”就是刻画对称现象的数学概念，“群”是描述对称的数学工具，群是现代数学中最基本、最重要的概念。 “群”产生于用根式求解方程的问题，它在整个数学的发展史上有着重要的意义。了解一些群的概念对于学生未来的发展是非常有益的。
我们可以通过丰富的对称几何图形，使学生对变换，特别是对称变换，变 换的合成等，有所认识和理解，在此基础上，让学生体会和感受“群”意义。