示加工路径任意点的曲率在x轴上的分量，曲率可以按照式（2.20）来计算。式（2.19）等号右边第一项表示进给速度方向改变时产生的向心减速度在x轴上的分量。第二项表示进给速度大小改变产生切向加速度在x轴的分量，当进给速度大小保持恒定时，则有af?0。
drd2r?2 k(u)?kx(u)i?ky(u)j?kz(u)k?dudu （2.20） 3drdu同理，可以得到y轴和z轴加速度分量。 4 约束条件
根据前面的分析，我们知道机床的运动学特性与刀具路径几何特性有密切的关系。当机床进给速度和刀具路径的几何特性一定时，机床的运动学特性也就可以确定。但由于加工路径（尤其是曲线）上各位置的几何特性在不断地发身变化，因此加工路径上各位置所允许的进给速度也在发生变化。要确定加工时的安全最大进给速度，必须使加工路径任意位置都满足最大速度和最大加速度的约束条件，即：
Amax?min(Axmax,Aymax)Fi(u)?Fmi
ai(u)?ami
式中 i?x,y,z，0?u?1；
am——机床各轴所允许的最大加速度； Fm——机床各轴所允许的最大速度。
下面以两轴联动加工线形程序段如何满足上述条件为例来说明这个问题。
（1）修正速度
两轴联动时，联动各轴的加减速能力各不相同，在每一个线形程序段内各联动轴的位移、速度、加速度也都不同。为保证各轴同时达到终点并准确地走出预定轨迹，必须对程序段进行插补，联动各轴的速度必须满足速度分
6
配规律。插补过程为：
??Xi?1?Xi?VxiT （2.21） ???yi?1?yi?VyiTVxi、Vyi为x，y轴进给速度，Vi为加工路径最高速度，T为插补周期，按下式计算
?X?V?V?i??xi?L ? （2.22）
?V?V??Yyii???L?X、?Y、?Z分别为x轴位移量、y轴位移量、加工路径长度。
由于各程序段内机床各运动轴的运动速度必须小于其最大允许速度。因此有：
??Vxi?Vxmax ? （2.23）
V?V?ymax?yi式中 Vxmax、Vymax分别表示x、y轴分别允许的最大速度。
若某一运动轴不满足（2.23）式要求，则需要降低Vi修正为：
Vi?Vxmax??L/?X （2.24） （2）修正加速度
Amax即是加减速阶段插补中所采用的最大加速度，实际上是联动各轴的加速度合成。显然，如何选择合理的Amax，对加减速时间有很大的影响。从上面可以看出，加速度满足和速度相同的分配规律。
?X?A?A?max??x?L ? （2.25）
?A?A??Yymax???L选择的Amax必须保证联动各轴的分加速度Ax、Ay满足各轴的加速度能力，即
7
要求：
??Ax?Vxmax ? （2.26）
A?V?ymax?y因此，常用的一种做法是保守地选择Amax为各轴最大加速度的最小值，即Amax?min(Axmax,Aymax)，这样在任何情况下均可满足（2.26）式条件。这样选取虽然对定位精度不会产生影响，但在大多数情况下联动各轴没有发挥最大的能力，通过合理规划，进给时间可以进一步缩短。
8
CNC数控系统加减速控制
加减速控制是CNC系统的关键技术之一，也是实现数控系统高实时性的瓶颈。在CNC装置中，为了保证机器在启动或停止时不产生冲击、失步、超程或震荡，必须对进给电机的脉冲频率或电压进行加减速控制。即在机床加速启动时，保证加在电机上的脉冲频率或电压逐渐增加；而当机床件速停止时，保证加在电机上的脉冲频率或电压逐渐减小。好的加减速控制算法除了保证数控机床运动平稳，在启停和程序段间速度有变化时不产生失步、超程、冲击和震荡外，还应当具有算法简单、系统加减速处理时间短、实时性强的特点。此外，很好的柔性（通用性）也是必要的，以便适应不同配置的机床，特别是在高速加工中，这显得尤为重要。
在高速加工中，一方面由于进给速度很快，为充分利用机床的有效工作行程，必须要求各坐标运动部件能在极短的时间内达到给定的速度，并能在高速运行中快速准确地停止在预定位置；另一方面，由于高速加工的加工时间缩短，机床运动起停频繁，因此，缩短运动部件起停的过渡时间，具有十分重要的意义。综合上述两点，也就是要求机床运动具有极短的加减速过渡过程。然而，如果仅从时间上考虑缩短过渡过程，而不对机床的加减速动态过程进行合理的控制，必将给机床结构带来很大的冲击，容易引起刀具振动和断刀，降低加工精度。因此，如何保证在机床运动平稳的前提下，实现以过度过程时间最短为目标的最优加减速控制规律，使机床具有满足高速加工要求的柔性加减速特性，是研究中的一个关键问题[8]。
（一）常用加减速控制方法
在目前数控系统体系结构中，加减速过程中有两个速度的概念，一个是稳定速度Vs，它是系统进入稳定运行状态时的速度。另一个是瞬时速度，它是数控系统在任一插补周期的速度，用Vi表示，是一个变化量，根据加减速状态的不同而不同。当系统处于稳定状态时，VS?Vi，加速时VS?Vi，减速
9
时VS?Vi。数控加工中，程序段中的速度命令和快速进给时的快速进给速度，需要转换成每个插补周期的进给量。稳定速度的计算公式如下[9]：
KVVs? （3.1）
60?1000式中：
Vs——稳定速度；
K——速度系数，包括快速倍率、切削进给倍率等； V——指令速度。 它对于减速点的计算十分重要。 1 直线加减速控制方法
直线加减速控制方法是加减速控制方法中最为简单的一种，也是最常用的一种。数控系统每插补一次，都要进行稳定速度、瞬时速度和加减速处理。
（1）加速处理
当系统计算出新的稳定速度大于原来的稳定速度时，就要进行加速处理。在这种情况下，瞬时速度计算如下：
Vi?1?Vi?aT （3.2） 式中a为加速度。
此时系统以新的瞬时速度Vi?1进行插补计算，得到该周期的进给量，对各坐标轴进行分配，这是一个迭代过程，这个过程一直进行到Vi?Vs为止。
（2）减速处理
系统每进行一次插补运算，都要进行终点判别，计算离终点点的瞬时距离Si，并由此判断系统是否进入减速区。减速区的长度Sd由先行加减速算法得到：
2Vs2?Vend Sd? （3.3）
2a式中Vend是最终的末速度。
10