考点：三角形的外接圆与外心；线段垂直平分线的性质．
6.（2015秋?杭州校级月考）如图，O为原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋
2
转90°得到线段BD，连结CD，某抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过点D、点E（1，1）．
（1）若该抛物线过原点O，则a= ；
（2）若点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，要使得符合条件的Q点的个数是4个，则a的取值范围是 ． 【答案】（1）﹣；（2）a＜﹣或a＞【解析】
试题分析：（1）过点D作DF⊥x轴于点F，先通过三角形全等求得D的坐标，把D、E的坐
2
标和c=0代入y=ax+bx+c，根据待定系数法即可求得；
（2）若符合条件的Q点的个数是4个，则当a＜0时，抛物线交于y轴的负半轴，当a＞0
2
时，抛物线与直线OQ：y=﹣x有两个交点，得到方程ax﹣4ax+3a+1=﹣x，根据根与系数的关系得出不等式，解不等式即可求得． 解：（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，如图1， ∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠DBF=∠BAO，
又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD， 在△AOB和△BFD中，
，
∴△AOB≌△BFD（AAS） ∴DF=BO=1，BF=AO=2， ∴D的坐标是（3，1），
．
把D（3，1），E（1，1），O（0，0）代入y=ax+bx+c， 得
，
2
解得a=﹣， 故答案为﹣；
（2）如图2，∵D（3，1），E（1，1）， 抛物线y=ax+bx+c过点E、D，代入可得分两种情况：
①当抛物线y=ax+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个．
（i）当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个； （ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线y=ax+bx+c有两个交点，抛物线
2
y=ax+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，所以3a+1＜0，解得a＜﹣；
②当抛物线y=ax+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个，
（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y=ax+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个；
（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y=ax+bx+c有两个交点，符合条件的点Q才两个．
根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB=∠BAO，
∴tan∠QOB=tan∠BAO==，此时直线OQ的斜率为﹣，则直线OQ的解析式为y=﹣x，要使直线OQ与抛物线y=ax+bx+c有两个交点，所以方程ax﹣4ax+3a+1=﹣x有两个不相等的实数根，所以△=（﹣4a+）﹣4a（3a+1）＞0，即4a﹣8a+＞0，解得a＞
舍去）
综上所示，a的取值范围为a＜﹣或a＞故答案为a＜﹣或a＞
．
．
2
2
2
22
2
2
2
2
2
，解得，所以y=ax﹣4ax+3a+1．
2
（a＜
考点：二次函数综合题． 三、计算题
1.（2015秋?杭州校级月考）如图，△ADE∽△ABC，=，△ABC的面积为18，求四边形BCED的面积．
【答案】16． 【解析】
试题分析：根据题意求出两个三角形的相似比，根据相似三角形的性质得到两个三角形的面积比，求出△ADE的面积，结合图形计算即可． 解：∵=， ∴=，
∵△ADE∽△ABC，=，
∴△ADE与△ABC的面积比为，又△ABC的面积为18， ∴△ADE的面积为2，
∴四边形BCED的面积=△ABC的面积﹣△ADE的面积=16． 考点：相似三角形的性质． 四、解答题
1.（2012秋?英国校级期中）（1）请找出该残片所在圆的圆心O的位置（保留画图痕迹，不必写画法）；
（2）若此圆上的三点A、B、C满足AB=AC，BC=3
，且∠ABC=30°，求此圆的半径长．
【答案】（1）见解析；（2）3 【解析】
试题分析：（1）分别作出线段AC与BC的垂直平分线，两直线的交点即为圆心；
（2）分别连结OA、OB，设OA交BC于点D，根据垂径定理求出DB的长，再由锐角三角函数的定义得出AD的长，设半径OB=r，则OD=2﹣r，在Rt△OBD中根据勾股定理求出r的值即可．
解：（1）如图所示，点O就是所求的圆心； （2）分别连结OA、OB，设OA交BC于点D， ∵AB=AC，
∴0A⊥BC，DB=DC=BC=∵∠ABC=30°， ∴AD=
tan30°=，
，
设半径OB=r，则OD=2﹣r，根据勾股定理，得 （
）+（﹣r）=r，
2
2
2
解得r=3，即半径为3．
考点：垂径定理的应用；勾股定理．
2.（2015秋?杭州校级月考）为调查某校学生一学期课外书的阅读量情况，从全校学生中随机抽取50名学生的阅读情况进行分析，并规定如下：设一个学生一学期阅读课外书籍本数为n，当0≤n＜5时，该学生为一般读者；当5≤n＜10时，该学生为良好读者；当n≥10时，该学生为优秀读者．
随机抽取的50名学生一学期阅读课外书的本数数据如下： 阅读本数n 人数
根据以上数据回答下列问题：
（1）请你估计在全校学生中任意抽取一个学生，是良好读者的概率是多少？（直接写出结果）
（2）在样本中为一般读者的学生中随机抽取2人，用树状图或列表法求抽得2人的课外书籍阅读本数都为4本的概率． 【答案】（1）；（2）．
0 1 2 1 4 2 5 3 6 12 8 11 10 5 12 8 14 5 16 2 【解析】
试题分析：（1）由给出的数据可求出当5≤n＜10时的人数，进而可求得良好读者的概率； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的情况，再利用概率公式即可求得答案． 解：
（1）∵5≤n＜10时，学生的人数为3+12+11=26（人），
∴估计在全校学生中任意抽取一个学生，是良好读者的概率==； （2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的有2种情况， ∴抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的概率为：=． 考点：列表法与树状图法；概率公式．
3.（2012?唐山二模）某政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元．销售过程中发现，月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+n．
（1）当销售单价x定为25元时，李明每月获得利润为w为1250元，则n= ； （2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求最大利润为多少元．
【答案】（1）500；（2）李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元．（3）销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润为2160元． 【解析】
试题分析：（1）根据已知得出w=（x﹣20）?y进而代入x=25，W=1250进而求出n的值即可；
（2）利用w=（x﹣20）?y得出W与x之间的函数关系式，令：函数关系式的关系式﹣2
10x+700x﹣10000=2000，进而求出即可；
（3）利用公式法求出x=35时二次函数取到最值，再利用这种护眼台灯的销售单价不得高于32元得出答案即可．
解：（1）∵y=﹣10x+n，当销售单价x定为25元时，李明每月获得利润为w为1250元， ∴则W=（25﹣20）×（﹣10×25+n）=1250，