在空气弹簧伸缩过程中，V6、V7、V8、V9的体积是不会变的，故：
dVdV1dV2dV3dV4dV5????? (2-13) dxdxdxdxdxdx另外，当空气弹簧充气压力改变时，可以得到不同的承载能力，故空气弹簧可以适应多种载荷的要求。此外，高度控制阀也可以使空气弹簧在一定的载荷下具有不同的高度；与金属弹簧比较，空气弹簧寿命较长；它是以气体为工作介质，内摩擦极小，对高频振动有良好的隔振和消声能力；但空气弹簧也具有制造成本较高，工艺复杂，密封要求较高等缺点[22]。 2.2有限元软件简介
非线性有限元软件主要有ANSYS、ABAQUS、ADINA、MSC.MARC、 LS-DYNA等。有限元前处理软件常用HYPERMESH。
本文选用ANSYS软件进行空气弹簧垂向特性及横向特性有限元仿真。 ANSYS软件是融结构、电场、声场、磁场和流体分析于一体的大型通用有限元分析软件。它是由世界上最大的有限元分析软件公司之一的美国ANSYS开发，它能够与多数CAD软件进行接口，实现数据的交换和共享，例如Pro/Engineer、UG、AutoCAD等，是现代产品设计中的高级CAE工具之一[29]。
ANSYS是一套功能强大的基于有限元方法的工程模拟软件，它的程序以其强大功能和广泛应用已经为世界所承认。该程序软件能够进行静态、动态结构分析，能解决瞬态和稳态热传导问题，静态磁学和随时间变化的磁学分析，模态问题的分析，以及具有多种类型的耦合分析的能力[29]。该程序有许多特点，在求解中能考虑非线性因素的影响，如大应变、塑性、大变形、应力硬化、高弹性、材料各向异性、接触等[23]。 2.3空气弹簧中的非线性问题
由于空气弹簧在汽车运动过程中具有较大变形特征，因而它是一个非常典型的几何非线性问题。其刚度是随着空气弹簧的变形而变化的，故对于弹簧刚度的求解不能按照线性问题考虑，必须采用非线性来求解。空气弹簧在受力下的位移和变形关系已远超过线性理论的范畴，而属于几何非线性[24]。
在建立空气弹簧非线性模型中，由于存在着橡胶，故它是一个材料非线性模型；又由于空气弹簧中存在着多层复合材料的帘布层，故它是一个材料正交异性模型；另外在空气弹簧中，上盖板与气囊之间存在着接触，空气弹簧座与气囊之间也存在着接触，故它也是接触非线性模型。
2.3.1橡胶材料非线性特性
橡胶在本质上属于超弹性材料的一种，其力学特性不仅与外载荷有关，而
9
且与温度、时间都有关系[25]。在实际应用中橡胶元件能承受很大的变形(500％～1000％)，橡胶在变形过程中呈现很强的几何和材料非线性。
橡胶的力学特性可以根据连续介质力学理论加以讨论，假定在橡胶的变形过程中存在自由能函数——应变能函数W，该函数中所包含的常数由实验确定，不考虑橡胶微观结构导出应力和应变之间的非线性弹性关系。考虑到橡胶材料的体积模量远远大于其弹性模量，一般认为橡胶是各向同性的不可压缩的超弹性材料。
应变能函数W一般由3个应变不变量I1、I2、I3来描述，则存在着应变能函数[26]：
W?W(I1,I2,I3) (2-14) W?W(I1,I2) (2-15)
对于上述橡胶材料所对应的应变能函数W有如下三种表达函数： (1)Ogden模型
n由于橡胶假设为不可压缩的超弹性材料，故I3?1。所以上式可以简化为：
W??i?1uiai(?1??1ai??1ai?3) (2-16) ai式中，ui及ai为材料常数，?1、?2、?3为x、y、z三个方向的延伸率。
(2)Neo-Hookean模型，其表达式如下：
W?C10(I1?3) (2-17) 式中，C10为材料常数，该模型较为简单，但只在单向拉伸试验40％应变范围内及简单剪切试验下90％应变内与试验结果吻合较好。
(3) Yeoh模型
W?C10(I1?3)?C20(I1?3)2?C30(I1?3)3 (2-18)
式中，C10、C20、C30都是材料常数。该模型采用不变量(I1?3)作为应变能函数，可很好地描述碳黑填充胶料的弹性力学性能[27]。
(4) 二项Mooney-Rivilin模型是一种广泛采用的模式。该模型对于天然橡胶和硫化橡胶在相当大的范围内都具有良好的近似。
W?C10(I1?3)?C01(I2?3) (2-19) 式中， C10、C01——超弹性材料的材料参数；
I1、I2——第1和第2应变常量。
本文中采用Mooney-Rivilin模型来模拟橡胶复合弹簧的变形。C10、C01刚好与ANSYS中的Mooney-Rivilin模型中的C10、C01相对应。其值可以通过橡胶材料的拉伸、压缩和剪切试验即可获得。在ANSYS中，只需输入橡胶材料常数C10、C01即可。
10
2.3.2帘布层材料的处理
空气弹簧气囊是由帘线和橡胶硫化而成的，根据帘线的层数可将气囊分为若干铺层，对气囊铺层而言，是由弹性模量从低值（橡胶）到高值（帘线）组成的帘线橡胶复合材料，同时各铺层互成一定角度（帘线角）布置，帘线是主要的承载部件，由于帘线的拉伸模量不等， 使得帘布层呈现出复杂的力学各向异性。气囊是由多层铺层组成，各铺层方向可根据设计需要进行铺叠[28]。
根据空气弹簧的正交异性分析，有：
??xx??1/Exx?????v/E?yy??xyxx??zz???vxz/Exx????0??xy????yz??0???0???zx?????vyx/Eyy1/Eyy?vyz/Eyy000?vzx/Ezz?vzy/Ezz1/Ezz0000000001/Gxy001/Gyz000???xx????0???yy?0???zz???? (2-20) 0???xy?0???yz????1/Gzx?????zx??由于相容矩阵是对称的，故存在如下关系式：
vxy/Exx?vyx/Eyy
vxz/Exx?vzx/Ezz
vyz/Eyy?vzy/Ezz
由于帘布层比较薄，按照薄板理论原则，?zz?0，?yz??zx?0。故以上模型可以简化为：
??x??1/Ex?vyx/Ey0???x??????????v/E1/E0yxyxy??????y? (2-21) ??xy??0??01/Gxy???????xy?式中Ex、Ey为x、y主方向上的弹性模量；vxy、vyx为应力在x、y方向作用横
向应变泊松比；Gxy为平面内纵向剪切模量。故在ANSYS中只用定义Ex 、Ey、
vxy、 vyx、 Gxy即可。
2.3.3空气弹簧接触问题分析
空气弹簧的上盖板和下底座均是由钢制成，空气弹簧在工作过程中，气囊与上盖板和下底座均发生接触。接触问题是一种高度非线性问题，需要较大的计算资源，为了进行切实有效的计算，理解问题的特性和建立合理的模型是很重要的。
接触问题中存在两个难点：第一，我们研究的接触问题大部分需要考虑摩擦，摩擦问题使得接触的收敛性变得困难。第二，不能在求解问题前就可以确定接触区域，而接触的区域是随着载荷、材料、边界条件等因素而确定的 [29]。 接触问题一般分为两种基本类型（即刚体─柔体的接触，柔体─柔体的接触），在刚体─柔体的接触问题中，接触面的一个或多个被当作刚体，与它接触
11
的变形体相比，有大得多的刚度。一般情况下，一种软材料和一种硬材料接触时，问题可以被假定为刚体─柔体的接触，许多金属成形问题归为此类接触，另一类，柔体─柔体的接触，是一种更普遍的类型，在这种情况下，两个接触体都是变形体（有近似的刚度）[29]。
ANSYS支持三种接触方式：点─点，点─面，面─面，每种接触方式使用的接触单元适用于某类问题。
点─点接触单元主要用于模拟点与点的接触行为，为了使用点─点的接触单元，你需要预先知道接触位置，这类接触问题只能适用于接触面之间有较小相对滑动的情况。
点─面接触单元主要用于给点─面的接触行为建模，例如两根梁的相互接触。使用这类接触单元，不需要预先知道确切的接触位置，接触面之间也不需要保持一致的网格，并且允许有大的变形和大的相对滑动。Contact48和Contact49都是点─面的接触单元，Contact26用来模拟柔性点─刚性面的接触，对有不连续的刚性面的问题，一般不采用Contact26，因为可能导致接触的丢失，在这种情况下，Contact48通过使用伪单元算法能提供较好的建模能力[30]。
ANSYS支持刚体─柔体的面─面的接触单元，刚性面被当作“目标”面，分别用Targe169和 Targe170来模拟2─D和3—D的“目标”面，柔性体的表面被当作“接触”面，用 Conta171、Conta172、Conta173、Conta174来模拟。一个目标单元和一个接触单元叫做一个“接触对”，程序通过一个共享的实常号来识别“接触对”，为了建立一个“接触对”给目标单元和接触单元指定相同的实常号。
面─面接触单元有好几项优点：（1）支持低阶和高阶单元；（2）支持有大滑动和摩擦的大变形；（3）提供工程需要的更好的接触结果，例如法向压力和摩擦应力；（4）没有刚体表面形状的限制；（5）与点─面接触单元比，需要较多的接触单元；（6）生成的磁盘空间和CPU时间较小[29]。
本文所提到的空气弹簧中的接触，即一种软材料与一种硬材料之间的接触，故采用的刚体─柔体接触，定义空气弹簧的气囊与上盖板、下底座之间的接触为面接触，且用Targe170来模拟“目标”面，Conta174来模拟“接触”面。 2.4气囊内压模拟
空气弹簧有限元分析中气压载荷的变化是该分析中的难点。一般采用多步求解法来解决这一问题，即将气压的加载过程分为若干载荷步逐渐加载，因为每一步的变形都很小，可近似认为在一个载荷步中橡胶气囊内气压维持不变。通过有限元软件分析其变形情况，进而计算出气囊容积的大小，然后通过所遵循的气体状态方程计算出体积变化后的压力P。改变施加在橡胶气囊上的气压载荷，同时外加载荷增加一个步长，进行下一步的计算[31]。
12
2.5有限元模型单元的选取
在建立空气弹簧有限元模型时，主要选取空气弹簧的上盖板、气囊以及下底座。上盖板和下底座一般是由钢铁制造而成，且是一个实体结构，本文选取Solid45单元来模拟空气弹簧的上盖板及下底座。气囊是一个复杂的结构，外部和内部有橡胶层，中部为帘布层，根据气囊的分层结构及厚度小等特点选取Shell181来模拟。
如下就是对两单元简单介绍。
2.5.1Solid45单元简介
Solid45单元用于三维实体结构模型，单元由8个节点结合而成，每个节点有x、y、z3个方向上的自由度。该单元具有塑性、蠕变、膨胀、应力强化、大变形和大应变的特征[24]。其单元形状如图2-7所示。
图2- 7 Solid45单元结构图
单元需要定义的主要材料常数有密度即DENS，杨氏弹性模量即Ex、Ey、Ez和泊松比即NUXY、NUXZ 、NUYZ等；输出结果主要有节点各方向的应变、应力、位移、压力、主应变、主应力以及相应的单元导出解[29]。Solid45体单元主要用来模拟由单一材料组成的三维结构。
2.5.2 Shell181单元简介
ANSYS程序中的Shell181单元是用于复合材料层合板结构分析比较好的单元之一，该单元适于分析薄至中等厚度的壳形结构。它是每个节点具有6个自由度的4节点单元[24]。6个自由度指X、Y、Z三个轴方向的位移和绕X、Y、Z三个轴的转角，其单元形状如图2-8所示。退化的三角形单元，只用于网格生成的填充单元。
13