安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 16 页 共 54 页
as??1?as?1??1e??0.25?K?4a ess?limsE(s)?lims??1?0.25，因此，同时ss?2s?0s?0Ks?as?Ks?Kss(s?a)系统的误差传递函数?e(s)?2，由频率特性可知
s?(a?K)s?K?e(j?)??4化简可得
j?(j??a)?(j?)2?j?(a?K)?K???4??2?a2(K??2)2??2(a?K)2??4?2 104(16?a2)?0.04?(K?16)2?16(a?K)2?1600?100a2 22(K?16)?16(a?K)2将K?4a代入上式整理79a?32a?336?0 解得a?2.275，K?9.1
例3-9 单位负反馈控制系统如图3-6所示。
R(s)10s?10--Kbs1 s2C(s)图3-6
1）试确定使闭环稳定的反馈系数Kb的取值范围；
2）若已确定系统的一个闭环极点为?5，试求Kb的取值和其余的闭环极点； 解：1）开环传递函数为G(s)?10，闭环特征方程为
s(s2?10s?10Kb)D(s)?s3?10s2?10Kbs?10?0
劳斯表为
s3110Kbs21010
s110Kb?1s010系统闭环稳定必须使10Kb?1?0，即Kb?0.1
2）由题意可得D(s)?(s?5)(s?as?b)?s?(a?5)s?(5a?b)s?5b?0 同时D(s)?s3?10s2?10Kbs?10?0，两式比较可得
232?a?5?10?a?5??5a?b?10K ? ??b?5b?5b?10?K?2.7??b22另两个闭环极点可由s?as?b?s?5s?5?0解得s2??4.56，s2??0.44
例3-10 已知单位反馈系统的开环传递函数 G(s)?K/s(Ts?1)。 试选择参数K及T的值以满足下列指标：①当r(t)= t时，系统的稳态误差ess≤0.02；②当r(t)=1(t)时，系统的动态性能指标Mp%≤30%，ts≤0.3s (△=5%) 解： ess?1?0.02 K开环增益应取K≥50 。现取K=60 。因
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2?nK/T G(s)??s(s?1/T)s(s?2??n)2故有T?1/2??n，?n?K/T
于是
?n?2K? 取Mp%?0.2% ，计算得
(lnMp%)2???2?(lnMp%)2?0.456，?n?54.72
此时ts?3.5/??n?0.14?0.3(S)
满足指标要求。最后得所选参数为：K=60，T=0.02 (s)
例3-11设某复合控制系统如图题3-7所示，K1、K2、T1、T2均为已知正值。在输入信号r(t)?t作用下，
2要求系统的稳态误差为零，试确定顺馈参数a、b之值。?
2 as2?bs T2s?1 R(s)K1++-3-7图
解：系统闭环传递函数为
K2 s(T1s?1) C(s)
G1G2?Gr?G2(G1?Gr)C(s)?1?????1?GG R(s)1?G1G2?G1?12?G(G?Gr)故 C(s)?21R(s)
1?G1G2???R(s) ?K2[as2?(b?K1T2)s?K1]C(s)3代入R(s)?1/s 及G1、G2、Gr, 得 ?32R(s)T1T2s?(T1?T2)s?(1?K1K2T2)s?K1K2误差为 E(s)?R(s)?C(s)???闭环特征方程为 T1T2s?(T1?T2)s?(1?K1K2T2)s?K1K2?0 易知，在题设条件下，不等式 (T1?T2)(1?K1K2T2)?K1K2T1T2
成立。由劳斯稳定判据，闭环系统稳定，且与待求参数a、b 无关。此时，讨论稳态误差是有意义的。
32?1?G2Gr?1?G1G2T1T2s3?(T1?T2?K2a)s2?(1?K2b)s1而E(s)? ?323T1T2s?(T1?T2)s?(1?K1K2T2)s?K1K2s若 T1?T2?K2a?01?K2b?0 则有E(s)?T1T2 32T1T2s?(T1?T2)s?(1?K1K2T2)s?K1K2s?0系统的稳态误差为ess?limsE(s)?0，因此可求出待定参数为a?T1?T2K2b?1 K22?n例3-12 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?，已知系统的误差响应为
s(s?2??n)e(t)?1.4e?1.07t?0.4e?3.73t （t≥0）
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试求系统的阻尼比ξ、自然振荡频率ωn和稳态误差ess。
2解：闭环特征方程为s2?2??ns??n?0
由已知误差响应表达式，易知，输入必为单位阶跃函1(t)，且系统为过阻尼二阶系统。故
e(t)?1.4e?t/T1?0.4e?t/T2?1.4e?1.07t?0.4e?3.73t 即系统时间常数为T1?0.93，T2?0.27
2令 s2?2??ns??n???s?T????s?T??，得??2???代入求出的时间常数，得??1.2，?n?2
1??1??1?1?T1/T22T1/T2，?n?21； T1T2稳态误差为ess?lime(t)?0
t??实际上，I型系统在单位阶跃函数作用下，其稳态误差必为零。
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第四章 线性系统的根轨迹分析
例4-1 已知负反馈系统的开环传递函数
G(s)H(s)?K
s(s?4)(s2?4s?20)试概略绘制闭环系统的根轨迹。
解 按照基本法则依次确定根轨迹的参数：
（1）系统无开环有限零点，开环极点有四个，分别为0，－4，和－2±j4。 （2）轴上的根轨迹区间为[－4，0]。
（3）根轨迹的渐近线有四条，与实轴的交点及夹角分别为σa=－2；φa=±45°，±135° （4）复数开环极点p3,4=－2±j4处，根轨迹的起始角为θp3.4=±90° （5）确定根轨迹的分离点。由分离点方程
1111????0，解得d1??2，dd?4d?2?j4d?2?j4d2,3??2?j6。因为d1??2 时，K?64?0；d2,3??2?j6时，K?100?0，所以，d1、d2、d3皆
为闭环系统根轨迹的分离点。
（6）确定根轨迹与虚轴的交点。系统闭环特征方程为D(s)?s4?8s3?36s2?80s?K?0 列写劳斯表如下
26 K 80?2?6K8s1
26s0 K
当K=260时，劳斯表出现全零行。求解辅助方程F(s)?26s2?K?0 得根轨迹与虚轴的交点为s??j10。概略绘制系统根轨迹如图4-1所示。
j ω
S平面
s4 s3 s2
1 8
36 80
K
σ
图4-1
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例4-2 单位负反馈控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)?K(s?b)。（1）绘制a?2、b?3，K?0 ? ?的根
s(s?a)轨迹（要求在图上标出各特征数据）；（2）若要求系统的开环增益为10（s?1），阻尼比为0.5 ，无阻尼自振频率为2 rad/s，试确定a、b、K的值。 解：(1) ①系统的开环零点z??3、，开环极点p1?0、p2??2，两条分支分别起始于极点，一条终止于零点，另一条趋向于无穷远处； ②实轴上根轨迹位于区间??? ,?3?、??2 , 0?；
③根轨迹的分离点与会合点
2dK?d?? s(s?2) ??? (2s?2)(s?3)?(s?2s) ?? s2 ?6s?6?0
?dsds?s?3??(s?3)2(s?3)2解得s1??3?3、s2??3?3 根轨迹分离点、会合点之相角 ?180???180???90? r2求分离点d1对应的K值
s s?2K??(3?1)2?4?23?0.536
s?3 s??3?3求会合点d2对应的K值
s s?2K??(3?1)2?4?23?7.464
s?3 s??3?3④绘制根轨迹图如图4-2所示。
Imj3K?4?23j?4?3?2?10Re?6?5K?4?23?3?3?3?3
图4-2
(2) 闭环特征式为
2 s2?(a?K)s?bk?s2?2??ns??n?s2?2s?4………………①
同时 bK?10 ……………………②
a联立①、②两式可求得a?0.4，b?2.5，K?1.6 例4-3已知单位反馈控制系统的开环传递函数为 G(s)?K(s?3)。1）绘制系统的根轨迹图：2）求使系
s(s?2)统取得最大振荡响应的阻尼比?和K值：3）求K取（2）中值系统的单位阶跃响应。