安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 21 页 共 54 页
解：1） ①系统的开环零点z??3、，开环极点p1?0、p2??2，两条分支分别起始于极点，一条终止于零点，另一条趋向于无穷远处。； ②实轴上根轨迹位于区间??? ,?3?、??2 , 0?；
③根轨迹的分离点与会合点
2dK?d?? s(s?2) ??? (2s?2)(s?3)?(s?2s) ?? s2 ?6s?6?0
?dsds?s?3??(s?3)2(s?3)2解得s1??3?3、s2??3?3 根轨迹分离点、会合点之相角 ?180???180???90? r2求分离点d1对应的K值
s s?2K??(3?1)2?4?23?0.53
s?3 s??3?3求会合点d2对应的K值
s s?2K??(3?1)2?4?23?7.464
s?3 s??3?3④绘制根轨迹图如图4-3所示。
ImAK?4?23R?3j3j?2?10Re?6?5?4?3K?4?23?3?3?3?3 图4-3
2）要使系统取得最大振荡响应只需阻尼比?取最小，即在相切点A时达到，相切点A点的坐标为
(?2，j2)
K? s s?2s?3 s??2?2j? ?2?2j ?2?2j?2?2?2j?3 ? 6?2 ?2，?=6?0.816
33 2(s?3)
s(s?2)2s?6闭环传递函数为?(s)?2
s?4s?62s?61261261?2?2??单位阶跃响应为C(s)?2 22s?4s?6ss?4s?6s?4s?6s(s?2)?2s?4s?6s3）K?2，G(s)?安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 22 页 共 54 页
作拉氏反变换
c(t)?2e?2tsin2t?1?e???nt? ??cos?16sin(?dt??)= 1?e?2t?2sin2t?3sin(2t??)??31??2例4-4 控制系统的开环传递函数为 G(s)?K
(s?1)(s?2)(s?4)1）证明该系统的根轨迹通过s??1?j3点； 2）求有一个闭环极点在s??1?j3时的K值； 3）求使闭环系统稳定的开环放大倍数K的取值范围。
解：1） ?G(s)???(s?p1)??(s?p2)??(s?p3)=??(?1?j3?1)??(?1?j3?2)??(?1?j3?4)
=?90??60??30?=?180?满足相角条件，所以根轨迹能过s??1?j3 2）由幅值条件
KK??K?1 ?K?12
|?1?j3?1||?1?j3?2||?1?j3?4||j3||1?j3||3?j3|123）特征方程为1?G(s)?1?劳斯表为
K?0 即s3?7s2?14s?8?K?0
(s?1)(s?2)(s?4)11478?K
98?8?K8?K98?8?K?0系统闭环稳定必须使，即?8?K?90
8?K?0s3s2s1s0?例4-5 已知系统如图4-5所示：
R(s)-K(s?1)2 s2(s?1)(s?10) C(s)
图4-5
1）绘制根轨迹图（应计算渐近线、分离点及续轴交点）； 2）确定使闭环系统渐近稳定的K值范围； 解：过程略，计算机绘制的根轨迹如图4-6所示：
安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 23 页 共 54 页
201510Root LocusImaginary Axis50-5-10-15-20-12-10-8-6Real Axis图4-6
-4-202
K。1）绘制系统的根轨迹图；2）确定系
s(s?2)(s?7)统稳定的K的最大值；3）确定阻尼比??0.707时的K值；
例4-6 设控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)?解：1）绘制系统的根轨迹图： ①系统的开环极点为p1?0、p2??2，p3??7，三条分支分别起始于极点，终止于无穷远处； ②根轨迹共有n?m?3?0?3条渐近线，它们在实轴上的交点坐标是
?a??p??zjj?1i?1nmin?m?[0?(?2)?(?7)]??3
3?0渐近线与实轴正方向的夹角分别为0?1????60?（k?0）2?1?1??3??180?（k?1）
3?033?032?2?1??5??300?（k?2） 3?03③实轴上根轨迹位于区间??? ,?7?、??2 , 0?；
④根轨迹与实轴的分离点坐标
dK?d??s(s?2)(s?7)??d??s(s2?9s?14)???(3s2?18s?14)?0
?dsdsds?解得s1??3?39??0.918、s2??3?39??5.082
由前面分析得知，s2??5.082不是根轨迹上的点，故舍去。s1是根轨迹与实轴分离点坐标。 求分离点s1??0.918对应的K值 K?s ?s2?s7⑤根轨迹与虚轴的交点坐标
?Re?1???0?Re?1???0KK???j?(j??2)(j??7)?j?(14??2)?9?2??Re?1?G(j?)H(j?)??0????????14?? ???即? ?K?126??0????Im?1?G(j?)H(j?)??0?Im?1?KK?Im1??????0?j?(j??2)(j??7)?j?(14??2)?9?2??????s??0.918 4?6.0⑥绘制根轨迹图。
2）系统稳定的K的取值范围为0?K?126，则K的最大值为126
3）根据绘制的根轨迹图，要使系统的阻尼比??0.707，则系统的必有一对闭环极点 ??s1,2??n??2?j2?
2??2安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 24 页 共 54 页
? 由于根轨迹上的点比满足相角条件?G(s)H(s)???(s?zi)???(s?pj)??(2k?1)i?1j?1mn2?2?nn?arctan2??180? 则有?G(s)H(s)???s1??(s1?2)??(s1?7)??135??arctan2222??7??2n2n2?2?nn222?arctan?45???n?92?n?14?0 化简可得arctan222??7??2n2n解得?n?1.216
K?s s?2s?7??s?1.216??2?j2?22???10.08
j?[s]60?j14K?126A?7p3?3?2p2?0.981p1 0 ? ?j14K?126300?
图4-7
例4-7 设控制系统的结构图如图4-8所示
R(s)
K(s?3)s(s?2)C(s)
试证明系统根轨迹的一部分是圆；
解：系统的开环极点为0和－2，开环零点为－3。由根轨迹的幅角条件
图4-8 控制系统的结构图
??(s?z)?n??(s?pii?1j?1mj)?(2K?1)?
得 ?(s?3)??s??(s?2)?(2k?1)? s为复数。将s???j?代入上式，则有
安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 25 页 共 54 页
?(??j??3)??(??j?)??(??j??2)?(2K?1)?
即tan?1???3?tan?1???180??tan?1 ???2tanx?tany
1?tanxtany取上述方程两端的正切，并利用下列关系tan(x?y)?有
?????3??tan?tan?1?tan?1????3????3??1?????(??3)??2???3???
?????2??
tan?180??tan?1????2?1?0????2???2?3?? ?2??2?(??3)??即(??3)2??2?(3)2
这是一个圆的方程，圆心位于（－3，j0）处，而半径等于3（注意，圆心位于开环传递函数的零点上）。 例4-8已知控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)?系统稳定时K值的范围.
解 （1） 系统的开环极点为0，1和－2±j3.46,开环零点为－1。 （2） 确定根轨迹的渐近线 渐渐线的倾斜角为 ?a?(2l?1)?(2l?1)?180? l=0，1，2，φa=π/3，π，5π/3。 ?n?m4?10??K(s?1)，试绘制系统的根轨迹,并确定2s(s?1)(s?4s?16)m?(0?1?2?j3.46?2?j3.46)?(?1)1?n2渐进线与实轴的交点为?a? p?z?????j?i?n?m?j?133i?1?（3） 实轴上的根轨迹位于1和0之间以及－1与－∞之间。
（4） 确定根轨迹的分离点
系统的特征方程式为s(s?1)(s?4s?16)?K(s?1)?0
2s(s?1)(s2?4s?16)即K??
s?1dK3s4?10s3?21s2?24s?16利用dK/ds?0,则有???0 2ds(s?1)解之可得，分离点d1=0.46 和 d2=－2.22。
（5） 确定根轨迹与虚轴的交点
系统的特征方程式为s?3s?12s?(K?16)s?K?0
432