安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 26 页 共 54 页
劳斯行列表为
s4 s3 s2 s1 s0
1
3
12 K
K?16
52?K K 3?K2?59K?832150K 0
52?K
1
K
?K2?59K?832150K?0 若阵列中的s行全等于零，即
52?K系统临界稳定。解之可得K=35.7 和 K=23.3。 对应于K值的频率由辅助方程确定。当K=35.7 时 ，s=±j2.56；当K=23.3时 ，s=±j1.56. 根轨迹与虚轴的交点处的频率为ω=±2.56 和ω=±1.56。
（6）确定根轨迹的出射角（自复数极点－2±j3.46出发的出射角）
根据绘制根轨迹基本法则，有106??120??130.5??90?????(2K?1)?180? 因此，开环极点－2±j3.46的出射角为θ1,2=±54.5°。 系统的根轨迹如图4-17所示。
由图4-9可见，当23.3 s平面 52?K2s?K?0 3图4-9 例4-9 已知系统的特征方程为s3?4s2?4s?c?0 试画出以c为参变量的根轨迹图，并求出使阻尼比为0.5时c的值。 解：1．恰当处理 用s3?4s2?4s去除特征方程的两边得1?(s)H?(s)??1 即G?c?0 s?4s2?4s3安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 27 页 共 54 页 其中G?(s)H?(s)?c s?4s2?4s32．按绘制180°根轨迹规则，绘制参量根轨迹 （1）由于特征方程最高阶次为3，因此其根轨迹有三个分支。 （2）根轨迹的三个分支连续且对称于实轴。 （3）根轨迹的三个分支起始于三个开环极点，即p1?0，p2?p3??2。由于m?0，当c??时，三条根轨迹分别趋向无穷远。 （4）作出开环零，极点分布图如图4-19所示，按规则4，整个负实轴都是根轨迹上的线段。? c??0，解得a??2是所求会合点。 （5）求根轨迹的会合点。由d??G??s?a 3 ds?(s)H?(s)?j?60?[s]j2c?16p2p3? 4 3? 2 3p1 ? 0 ?j2c?16 300? nm图4-10 根轨迹图 （6）根轨迹的渐近线有n?m?3条。其与实轴的交点是（?a，0），其中?a??p??zjj?1i?1in?m??4 3与实轴正方向的夹角是 ?1? 1 ??60? （k?0）；?2? 2 ??180?（k?1）；?3? 3 ??30 （k?2） 333（7）没有复极点，复零点，故不用求入射角与出射角。 （8）求根轨迹与虚轴的交点，将s?j?代入特征方程得?j?3?4?2?4j??c?0 得实部，虚部方程分别为 ? ?4?2?c?0 ?3? ?j??4j??0解方程组得??0（舍去）或???2（rad/s），c?16。因此，根轨迹与虚轴的交点是?2j，c?16 3．求?＝0.5时，c的值 ??n???0.5，得??60? ?n由相角条件，结合图4-11得2??180??60??180? 则??30? 由于 cos??安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 28 页 共 54 页 j?[s] C B ? D A 60? O ? 图4-11 例4-9求解用图 因此，△OCD为直角三角形，OD?2，则OC?1，OA?0.5，AC?0.866。C点坐标为，?0.5?j0.866。 |c|??1，则|c|?s??0.5?j0.8660.52?0.8662(1.52?0.8662)例4-10 已知控制系统如图4-12所示 c由幅值条件 s(s?2)2R(s) K(0.5s?1)4?1.5?322???22?3 C(s) （1） 试根据系统的根轨迹分析系统的稳定性。 （2） 估算Mp%?16.3%时的K值。 图4-12 Kg16K解： G(s)? ?(s?2)4(s?2)4（1）系统有四个开环重极点：p1=p2=p3=p4=0。没有零点。实轴上除－2一点外，没有根轨迹段。根轨迹有四条渐进线，与实轴的交点及夹角分别为?a?下面证明根轨迹和渐近线是完全重合的。 将根轨迹上任一点s=s1代入幅角方程，有 ?8(2K?1)??3??2，?a???，?? 44444?(s1?2)?(2K?1)?，即 ?(s1?2)?1(2K?1)? 4 j? S平面 和渐近线方位角?a的表达式比较，两者相等，于是有 ?(s1?2)??a。由于s1的任意性，因此根轨迹和渐近线 完全重合。系统的根轨迹如图4-13所示。由图4-13可知，随着K的增加，有两条根轨迹将与虚轴分别交于j2和－j2处。将s=j2代入幅值方程有 K?1 |(s?2)4|σ 解得开环根增益：K=64，开环增益：Kc=K/16=4． 即当Ｋ＝４时，闭环系统有一对虚根±j２，系统处于临界稳定的状态。当K>4时，闭环系统将出现一对实部为正的复数根，系统不稳定。所以，使系统稳定的开环增益范围为0 （2）由超调量的计算公式及指标要求，有 图4-13 例4-10系统的根轨迹 安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 29 页 共 54 页 ???1??2Mp%?e?16.3%解得，??0.5。即，系统闭环极点的阻尼角为??cos?1??cos?10.5?60?。 ， 在s平面上做等阻尼线OA，使之与负实轴夹角为β=±60°。OA与根轨迹相交于s1点，容易求得，s1=－ 0.73+j1.27，代入幅值方程，有K?0.65 注意：本题应用二阶欠阻尼系统的超调量和阻尼比关系式估算四阶系统的性能指标，实际上是利用了闭环主导极点的概念。不难验证，本系统的闭环极点的分布满足主导极点的分布要求。可以认为s1、s2是主导极点，忽略s3、s4的作用，从而将一个复杂的四阶系统近似为二阶系统，大大简化了问题的处理过程。 安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 30 页 共 54 页 第五章 线性系统的频域分析 例5-1 已知一控制系统结构图如图5-1所示，当输入r(t) = 2sint时，测得输出c(t)=4sin(t?45?)，试确定系统的参数? ，?n。 R(s)2?n s(s?2??n) C(s)- 图5-1 系统结构图 2?n解：系统闭环传递函数为?(s)?2 2s?2??ns??n系统幅频特性为?(j?)?2?n(???)?4???2n2222n2 相频特性为?(?)??arctan2??n????2n2 由题设条件知c(t) = 4sin( t ?45?) =2 A(1) sin(t + ?(1)) 即 A(1)?2?n(???)?4???2n2222n2???12?n(??1)?4??2??n??45? 2n222n?2 ?(1)??arctan整理得 2??n?2?n??2??arctan??12?n?1422?n?4[(?n?1)2?4?2?n] 22??n??n?1 解得?n?1.244，??0.22 10(s2?2s?5)例5-2 已知系统传递函数为G(s)?，试绘制系统的概略幅相特性曲线。 (s?2)(s?0.5)11s?50(s2?2()?1)555解：（1）传递函数按典型环节分解G(s)? ss(?1)(??1)20.5（2）计算起点和终点limG(j?)??50，limG(j?)?10 ??0???相角变化范围：不稳定比例环节?50：?180? ~ ?180?；惯性环节1/(0.2s+1)：0?~ ?90?；不稳定惯性环节1/(?2s?1)：0?~ +90?；不稳定二阶微分环节0.2s2?0.4s?1：0?~ ?180? 10(5??2?2j?)(??2?1?1.5j?)（3）计算与实轴的交点G(j?)? (?2?1)2?(1.5?)210[?(5??2)(?2?1)?3?2?j?(?5.5?3.5?2)] ? 222(??1)?(1.5?)令Im[G(j?)] = 0，得?x?5.5/3.5?1.254 ，Re[G(j?x)] = ?4.037