第一章算法初步
1.1.1算法的概念 【学习目标】
1、了解算法的含义，体会算法的思想；2、能够用自然语言叙述算法；3、掌握正确的算法应满足的要求；4、会写出解线性方程（组）的算法；5、会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法；6、会应用Scilab求解方程组。 【预习指导】
预习课本P2到P5关于“算法的概念”的相关内容，完成下列问题： 1、算法的概念:
广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。
在数学中，主要研究计算机实现计算的算法，即告诉计算机计算的步骤和方法。比如解方程的算法就是告诉计算机解方程的步骤和方法、函数求值的算法就是告诉计算机函数求值的步骤和方法、作图的算法就是告诉计算机作图的步骤和方法等。
算法的描述可以用自然语言，也可以用数学语言，数学语言和自然语言是相同的，唯一不同的是数学语言采用一些记号表示某些文字。
例如，某同学要在下午到体育馆参加比赛，比赛下午2时开始，请写出该同学从家里发到比赛地的算法。
若用自然语言来描述可写为 （1）1:00从家出发到公共汽车站 （2）1:10上公共汽车 （3）1:40到达体育馆 （4）1:45做准备活动。 （5）2:00比赛开始。 若用数学语言来描述可写为： S1 1:00从家出发到公共汽车站 S2 1:10上公共汽车 S3 1:40到达体育馆 S4 1:45做准备活动 S5 2:00比赛开始
大家从中要以看出，实际上两种写法无本质区别，但我们在书写时应尽量用教学语言来描述。
2、算法与计算机:
计算机解决任何问题都要依赖于，只有将解决问题的过程分解为若干个，即，并用计算
机能够接受的“”准确地描述出来，计算机才能够解决问题。 【课堂探究】
1. 教材P3例1
1
任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定。 思维指导：
①本题的问题是设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定 第一，本题的条件是给定某一个数n；
第二，思考：判断一个数是质数的方法是什么？
第三，按照判断一个数是质数的方法设计出下面的步骤：
第一步：先要判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行第二步。 思考：为什么一定要判断n是否等于2？
第二步：依次从2至（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数。
这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法。
2.教材P4例2
2
例2 用二分法设计一个求方程x–2=0的近似根的算法。 思维指导：
2
①本题的问题是设计一个用二分法求方程x–2=0的近似根的算法。
2
第一，本题的条件是给定方程x–2=0； 第二，解决方法：二分法； 第三，问题是编写算法。
思考：求任何近似解，必须有近似程度，题目给定了吗？ 本题假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过0.005.
2
第一步：令f(x)=x–2。因为f(1)<0，f(2)>0，所以设x1=1，x2=2。 第二步：令m=(x1+x2)/2，判断f(m)是否为0，若则，则m为所求；若否，则继续判断f(x1)·f(m)大于0还是小于0。
第三步：若f(x1)·f(m)>0，则令x1=m；否则，令x2=m。
第四步：判断|x1–x2|<0.005是否成立？若是，则x1、x2之间的任意取值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步。
小结：算法具有以下特性：(1)有穷性；(2)确定性；(3)顺序性
?x?2y??13.例写出解二元一次方程组? 的算法
2x?y?1? 解：第一步，②-①×2得5y=3；③ 第二步，解③得y=3/5；
第三步，将y=3/5代入①，得x=1/5
学生做一做：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？
老师评一评：本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的
解法。下面写出求二元一次方程组的解的算法： 第一步：②×A1-①×A2，得(A1B2-A2B1)y+A1C2-A2C1=0；③ 第二步：解③，得y?
第三步：将y?A2C1?A2C2；
A1B2?A2B1A2C1?A2C2代入①，得
A1B2?A2B1
x?
?B2C1?B1C2。
A1B2?A2B1此时我们得到了二元一次方程组的求解公式，利用此公司可得到例3的另一个算法： 第一步：取A1=1，B1=-2，C1=1，A2=2，B2=1，C2=-1； 第二步：计算x??B2C1?B1C2A2C1?A2C2y?与
A1B2?A2B1A1B2?A2B1第三步：输出运算结果。
可见利用上述算法，更加有利于上机执行与操作。
基础知识应用题
4.例： 写出一个求有限整数列中的最大值的算法。 解：算法如下。
S1 先假定序列中的第一个整数为“最大值”。
S2 将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”，这时你就假定“最大值”是这个整数。
S3 如果序列中还有其他整数，重复S2。
S4 在序列中一直到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值。 学生做一做 写出对任意3个整数a,b,c求出最大值的算法。
老师评一评 在例中我们是用自然语言来描述算法的，下面我们用数学语言来描述本题的算法。
S1 max=a
S2 如果b>max, 则max=b. S3 如果C>max, 则max=c. S4 max就是a,b,c中的最大值。 综合应用题
5.例 写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。
分析：可以按逐一相加的程序进行，也可以利用公式
n(n?1)1+2+?+n=进行，也可以根据加法运算律简
2化运算过程。 解：算法1：
S1：计算1+2得到3；
S2：将第一步中的运算结果3与3相加得到6； S3：将第二步中的运算结果6与4相加得到10； S4：将第三步中的运算结果10与5相加得到15； S5：将第四步中的运算结果15与6相加得到21。 算法2： S1：取n=6；
n(n?1)S2：计算；
2S3：输出运算结果。 算法3：
S1：将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7； S2：计算3×7； S3：输出运算结果。
小结：算法1是最原始的方法，最为繁琐，步骤较多，当加数较大时，比如1+2+3+?+10000，再用这种方法是行不通的；算法2与算法3都是比较简单的算法，但比较而言，算法2最为简单，且易于在计算机上执行操作。
学生做一做 求1×3×5×7×9×11的值，写出其算法。 老师评一评
算法1:第一步，先求1×3，得到结果3；
第二步，将第一步所得结果3再乘以5，得到结果15； 第三步，再将15乘以7，得到结果105； 第四步，再将105乘以9，得到945；
第五步，再将945乘以11，得到10395，即是最后结果。 算法2：用P表示被乘数，i表示乘数。 S1 使P=1。 S2 使i=3 S3 使P=P×i
S4 使i=i+2
S5 若i≤11，则返回到S3继续执行；否则算法结束。
小结 由于计算机动是高速计算的自动机器，实现循环的语句。因此，上述算法2不仅是正确的，而且是在计算机上能够实现的较好的算法。在上面的算法中，S3，S4，S5构成一个完整的循环，这里需要说明的是，每经过一次循环之后，变量P、i的值都发生了变化，并且生循环一次之后都要在步骤S5对i的值进行检验，一旦发现i的值大于11时，立即停止循环，同时输出最后一个P的值，对于循环结构的详细情况，我们将在以后的学习中介绍。 【巩固练习】
1、下面四种叙述可以称为算法的是（ ） （A）在家里一般是妈妈做饭
（B）做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤 （C）在野外做饭叫野炊 （D）做饭必须要有米
2、下列对算法的理解不正确的是（ ）
（A）算法有一个共同的特点就是对一类问题都有效，而不是个别问题 （B）算法要求是一步步执行，每一步都能得到唯一的结果
（C）算法一般是机械的，有时要进行大量重复计算，它的优点是一种通法 （D）任何问题都可以用算法来解决
3、对于算法：第一步，输入n。第二步，判断n是否等于2，若n=2，则n满足条件；若n>2，则执行第三步。第三步，依次从2到（n-1）检验能不能整除n，若不能整除n，则执行第四步；若能整除n，则执行第一步。第四步，输出n。满足条件的n是（ ） （A）质数 （B）奇数 （C）偶数 （D）合数
4、已知直角三角形两条直角边长分别为a，b，写出求斜边c的算法如下： 第一步，输入两直角边长a，b的值。 第二步，计算c?a2?b2。 第三步，。
5、写出用“二分法”求方程x?5?0
1.1.2程序框图、算法的基本逻辑结构
2(x?0)的近似解的算法。