210x1x2?2x12?8x22x12?10x1??8x2 x2的平均产量函数为APx2?x2x22?(10x1x2?2x12?8x2)?10x1?16x2 x2的边际产量函数为MPx2??x24. 已知某厂商的生产函数为Q?L3/8K5/8，又设PL=3元，PK=5元，试求： ⑴产量Q=10时的最低成本和使用的L与K的数值。 ⑵总成本为160元时厂商均衡的Q、L与K之值。
答：⑴厂商生产既定产量使其成本最小的要素投入组合要求满足
MPLPL? MPKPK对于生产函数Q?LK件，得
3/85/85533?3?85888，有MPL?LK，MPK?LK，代入均衡条
883?88LKMPL8PL3 ??? 33MPK58?8PK5LK855简化得，K=L
代入产量Q=10时的生产函数Q?L3/8K5/8?10，求得L=K=10 此时最低成本支出为TC=3L+5K=80
⑵厂商花费既定成本使其产量最大的要素投入组合同样要求满足上小题已求得，K=L
将其总成本为160元时的成本方程3L?5K?160，求得L=K=20 此时最大产量为Q?L3/8K5/8?20
5. 设生产函数为
??q?Ax1x2MPLPL? MPKPK，r1、r2 为x1和x2的价格，试求该产品的扩展线。
?Px1Px2答：由生产者均衡条件
MPx1MPx2，得
??1?A?x1x2r1? ???1A?x1x2r2简化得，
?x2r1?，即?r2x2??r1x1 ?x1r2可知，该产品扩展线为?r2x2??r1x1?0 6. 已知生产函数Q?L2/3K1/3，证明： (1)该生产规模报酬不变 (2)受报酬递减律支配。
答：(1)由题设Q?f(L,K)?L2/3K1/3，可得 f(?L,?K)?(?L)2/3(?K)1/3??L2/3K1/3??Q 故该生产过程规模报酬不变。
(2)假定资本K不变(用K表示)，而L可变， 对于生产函数Q?L2/3K1?213MPL?KL3 34??MPL21??K3L3?0 ?L91/3，有
这表明，当资本使用量既定时，随着使用的劳动量L的增加，劳动的边际产量是递减的。同样，可证明资本边际产量也是递减的。
可见，该生产函数表明的生产过程受报酬递减规律支配。
7. 设生产函数为Q?2L0.6K0.2，试问： ⑴该生产函数是否为齐次函数？次数为多少？ ⑵该生产函数的规模报酬情况。
⑶假如L与K均按其边际产量取得报酬，当L与K取得报偿后有多少价值剩余？ 答：⑴ 由题设Q?f(L,K)?2L0.6K0.2，可得 f(?L,?K)?2(?L)0.6(?K)0.2??0.8L0.6K0.2??0.8Q
故该生产函数为齐次函数，其次数为0.8。
⑵根据⑴题f(?L,?K)?2(?L)0.6(?K)0.2??0.8L0.6K0.2??0.8Q 可知该生产函数为规模报酬递减的生产函数。 ⑶对于生产函数Q?2L0.6K0.2，有
MPL?2?0.6L?0.4K0.2?1.2L?0.4K0.2 MPK?2?0.2L0.6K?0.8?0.4L0.6K?0.8
这里的剩余产值是指总产量减去劳动和资本分别按边际产量取得报酬以后的余额，故
剩余产值?Q?L?MPL?K?MPK?2L0.6K0.2?L?1.2L?0.4K0.2?K?0.4L0.6K?0.8?2L0.6K0.2?1.2L0.6K0.2?0.4L0.6K0.2?0.4L0.6K0.2?0.2Q
习题五
1. 要素报酬递减规律与短期边际成本曲线的形状有什么样的联系？如果投入的可变要素的边际产量开始时上升然后下降，那么短期边际成本曲线和短期平均成本曲线的形状是怎样的？如果边际产量一开始就下降，那么成本曲线的又是怎样的？
答：在短期，在固定要素（如资本设备）一定的情况下，可变要素逐渐增加，到一定阶段，该要素（如劳动）的边际产量会出现递减现象，这就是所谓要素报酬递减规律。当要素报酬递减时，由该要素生产的产品的边际成本就会上升。短期边际成本曲线之所以会出现先下降再上升的U形，就是生产要素报酬（边际产量）先递增再递减的结果。举个例说，假定生产某产品使用一定资本设备，其固定成本为120元，使用1单位劳动时的成本假定为60元，生产量为4件，则每件产品平均成本AC=AFC+AVC= FC/Q+VC/Q=120/4+60/4=45元。使用2单位劳动时假定成本为120元（单位劳动价格不变），产量假定为10件，则劳动的边际产量
MPL=10－4=6件。产品平均成本为AC= AFC+AVC=120/10+120/10=24元，MC=ΔC/ΔQ=(240－180)/(10－4)=10元。再假定使用3单位劳动的成本为180
元，并假定产量为12件，则劳动的边际产量为MPL=12－10=2件，这时产品平均成本为AC=120/12+180/12=10+15=25元，这时产品的边际成本为
MC=ΔC/ΔQ=(300－240)/(12－10)=30元。可见，如果投入的可变要素的边际产量开始时上升，然后下降，则短期边际成本和短期平均成本都会先降后升。如果边际产量一开始就下降，那么边际成本和平均成本曲线一开始就向右上倾斜（即上升）。
2. 为什么短期平均成本曲线和长期平均成本曲线都可假定是U形？为什么由无数短期平均成本曲线推导出来的长期平均成本曲线必有一点也仅有一点才和短期平均成本相等？
答：短期平均成本（SAC）曲线所以会呈U形，是因为，根据要素报酬递减规律，在短期，在固定要素（如资本设备）一定的情况下，可变要素逐渐增加，到一定阶段，该要素（如劳动）的边际产量会出现递减现象。当要素报酬递减时，由该要素生产的产品的边际成本就会上升。短期边际成本曲线之所以会出现先下降再上升的U形，就是生产要素报酬（边际产量）先递增再递减的结果。
长期平均成本（LAC）曲线所以也会呈U形，是因为随着产量的扩大，使用的厂房设备的规模增大，因而产品的生产经历规模报酬递增的阶段，这表现为产品的单位成本随产量增加而递减。长期平均成本经历一段递减阶段以后，最好的资本设备和专业化的利益已全被利用，这时可能进入报酬不变，即平均成本固定不变阶段，而由于企业的管理这个生产要素不能像其他要素那样增加，因而随着企业规模的扩大，管理的困难和成本的不断增加，再增加产量会使长期平均成本最终转入递增。
平均成本 SAC1 LAC T1 SAC4 SAC2 SAC3 A T4 T2 B T3
O 产量
作为包络线的LAC曲线上的每一点总是与某一特定的SAC曲线相切，但LAC并非全是由所有各条SAC曲线之最低点构成的。事实上，在整个LAC曲线上，只有一点才是某一特定的SAC的最低点。具体说（见上图）：⑴只有LAC曲线本身的最低点（即LAC从递减转入递增之转折点）T3与相应的SAC3相切之点才是SAC3之最低点，因T3点是呈U形的LAC曲线之最低点，故过T3点作LAC曲线的切线的斜率为零；又因SAC3与LAC相切于T3，故SAC３在T3点的切线的斜率也为零，故T3也是呈U形的SAC3的最低点。⑵当LAC处于递减阶段时，即T3的左边部分，
LAC曲线各点与各SAC曲线相切之点必然位于各SAC曲线最低点的左边和上面，或者说有关SAC曲线之最低点必然位于切点的右边和下面。LAC与SAC2切于T2，因T2点位于SAC2之最低点B的左边，即该产品的生产处于规模报酬递增（平均成本递减）阶段，因而LAC曲线上的T2点的切线的斜率是负数，故SAC2曲线在
T2点的斜率也是负数，故位于T3点（LAC之最低点）左边之LAC上的各个点都不是有关各SAC曲线之最低点。⑶当LAC处于递增阶段时，即T3的右边部分，LAC曲线各点与各SAC曲线相切之点必然位于各SAC曲线最低点的右边和上面，或者说有关ＳAＣ曲线之最低点必然位于切点之左边和下面。位于T3右边的LAC与SAC4的切点T4，因处于规模报酬递减（平均成本递增）阶段，故LAC曲线上的T4点的斜率为正，故也是SAC4上的一点T4的斜率也是正数，由此可知T4点不是SAC4的最低点。
综上所述，由无数短期平均成本曲线推导出来的长期平均成本曲线必有一点也只有一点，长期平均成本才和最低短期平均成本相等。
3. 说明为什么在产量增加时，平均成本AC与平均可变成本AVC越来越接近？
答：因为平均成本系平均可变成本与平均固定成本之和，即AC=AVC+AFC，故平均成本与平均可变成本之差为平均固定成本，即AVC=AC-AFC。而当产量增加时，每单位产量分摊到的固定成本越来越小，即AFC越来越小，因此，AC与AVC之差越来越小，表现在图形上这两条曲线越来越接近。