22
f x1 f x2 ax1 x1 1 ax2 x2 1
22 a x1 x2 x1 1 x2 1
a x1 x2
x1 x2 a
x1 x2
2
222
1
x1 1 x2 1
x1 x2x1 1 x2
2
2
要使函数f x 在 1, 上为单调函数，需且只需：
a
x1 x2
x1 1 x2 1
2
2
恒成立，（或a
x1 x2
x1 x2
x1 1 x2 1
2
2
恒成立）．
因此，只要求出
x1 1 x2 1
22
在条件“x1,x2 1, ，且x1 x2”之下
的最大、最小值即可．为了探求这个代数式的最值，我们可以考虑极端情况，如：
x1 1,x2 1，容易知道，此时
x1 x2
x1 x2
x1 1 x2 1
2
2
；若考虑x1 x2 ，
则不难看出，此时
x1 1 x2 1
22
1，至此我们可以看出：要使得函数f x
为单调函数，只需a 1．
事实上，当a 1时，由于x1 x2 x1 1 x2 1 0恒成立，所以，
x1 x2
x1 1 x2 1
2
2
22
1．所以，在条件“x1,x2 1, ，且x1 x2”之下，必有：
f x1 f x2 0．
所以，f x 在区间 1, 上单调递减．
5
当a 1时，由（1）可以看出：特例a 2的情况下，存在f 1 f ．由
3
此可以猜想：函数f x 在区间 1, 上不是单调函数．为了说明这一点，只需找到x1,x2 1, ，使得f x1 f x2 即可．简便起见，不妨取x1 1，此时，可
a2 1
1，也即：f 1 求得x2 2
a 1
a2 1 f a2 1 a，所以，f x 在区间 1, 上不