很好
因此有
2x0
2
2y0
4
1 1
22
，可解得x0 1,y0 2，相应地有 z0 x0 y0 5.
故所求的切平面方程为2(x 1) 4(y 2) (z 5) 0，即 2x 4y z 5. 四、综合题 1、S 2
12
a(1 cos )d 8a
'
222
3 1 32
a 4 222
2、fx' 2x y 1，fy 2y x 1
f
''
yy
2，f
''xy
1，f
''xx
'
fx 2x y 1 0
得驻点(1,1) 2；令 '
fy x 2y 1 0
在驻点(1,1)处有 B2 4AC 1 4 3 0,A 2 0 故f(x,y)在点(1,1)取得极小值f(1,1) 1. 五、证明题
1、证明：设f(x) ex 1 x，f'(x) ex 1
f(x)在 0, 上连续，在 0, 内f(x) 0，因此
'
f(x)在 0, 为单调递增，从而x 0时，f(x) f(0)
由于f(0) 0，故f(x) f(0) 0，即ex 1 x 0 亦即x 0时，ex x 1.
2、（致远提醒本题至少有三种证法，这里给出其中一种） 证明：对函数lnx在[a,b]上应用拉格朗日定理，得
lnb lna
lntt
2
22
2ln
(b a), a b；
1 lntt
2
设 (t) ，则 (t) ，
当t e时， (t) 0, 所以 (t)单调减小， 从而 ( ) (e)，即 ln
lnee
22
2
2e
2
，
4e
2
故 lnb lna
22
(b a).