六、（10分）已知 (x)f(x)dx Akf(xk)为Gauss型求积公式，其中 (x)为权函数；设l0(x)，
a
k 0
b
n
l1(x)，(1) (2)
,ln(x)为以x0,x1,,xn为节点的Lagrange插值基函数．证明： (i j)；
b
a
(x)li(x)lj(x)dx 0
b
b
k 0
n
a
(x)lk2(x)dx (x)dx．
a
证 (1) 因为Gauss型求积公式的代数精度为2n 1，而li(x)lj(x)为2n次的代数多项式， 所以
b
a
(x)ldx i(x)jl(x)
k 0
n
ki
Al()l．(x)kxjk
b
又因为当 i j 时，li(xk)lj(xk) 0，所以 (x)li(x)lj(x)dx 0． -------------------5分
a
(2) 对0,1,
,n中任意固定的i，li2(x)为2n次的代数多项式，所以
n
b
a
(x)l(x)dx Akli2(xk) Ai，
2
i
k 0
n
b
2k
n
n
b
b
从而 (x)l(x)dx Ak (Ak 1) (x) 1dx (x)dx．------------------10分
k 0
a
k 0
k 0
a
a