高中数学 柯西不等式习题集
解： 2x 3y z 3 2x 3(y 1) z ( )，
考虑以下两组向量
u = ( , , ) ，v =( , , )
解析：[x2 (y 1)2 z2][22 ( 3)2 12] (2x 3y 3 z)2[x2 (y 1)2 z2]
xy 1z t , 2x 31 2
32
∴t ∴y
77
3y
z
3618
∴最小值 147
3
3, 2t(2 )t 3( 3t 1)
【13】 设a，b，c均为正数且a b c 9，则
4916
之最小值为abc
解：考虑以下两组向量
u = ( , , ) ，v =( , , )
2344916 2 2
(u v)2 u v ( a b c)2 ( )(a b c)
abcac
4916
( )．9 (2 3 4)2 81
abc491681 9
abc9
123
【14】、设a, b, c均为正数，且a 2b 3c 2，则 之最小值为________，此时a ________。
abc
解：考虑以下两组向量
u = ( , , ) ，v =( , , )
1223 2 2
(u v)2 u v [(a)2 (2b)2 (c)2][() ()2 ()2] (1 2 3)2
abc
123
∴( ) 18，最小值为18 等号发生于 u//v 故
abcb c ∴a 又a 2b 3c 2 ∴a
a1
a
2b2b
c3c
1 3
【15】. 设空间向量a的方向为 ， ， ，0 ， ， ，csc2 9 csc2 25 csc2 的最小值为 。
解∵ sin2 sin2 sin2 2 ∴ (sin2 sin2 sin2 )[(
123252
) () ()] (1 3 5)2 2(csc2 9csc2 25csc2 ) 81 sin sin sin
∴ csc2 9csc2 25csc2
8181
∴ 故最小值为 22
【16】. 空间中一向量a与x轴，y轴，z轴正向之夹角依次为 ， ， （ ， ， 均非象限角），
3
【注】本题亦可求tan2 9 tan2 25tan2 与cot2 9cot2 25cot2 之最小值，请自行练习。