高中数学 柯西不等式习题集
求
149
的最小值。
sin2 sin2 sin2
解 : 由柯西不等式
[((
122232
) () ()](sin2 sin2 sin2 ) sin sin sin
123
sin sin sin )2 sin sin sin
149
) () ()](sin2 sin2 sin2 ) (1 2 3)2 222
sin sin sin
149149
) 36 ( ) 18 222222
sin sin sin sin sin sin
(
∵ sin2 sin2 sin2 2 ∴ 2(∴
149
的最小值 18
sin2 sin2 sin2
【17】.空间中一向量a的方向角分别为 , , ，求
92516
的最小值。 222
sin sin sin
答72利用柯西不等式解之 【18】、设x, y, z R，若(x 1)2 (y 2)2 z2 4，则3x y 2z之范围为何？又3x y 2z发生最
小值时，x ？
2222222
答案：[( x 1) (y 2) z][3 ( 1) ( 2)] (3x 3 y 2 2z)
4(14) (3x y 2z 5)2
3x y 2z 5
5 3x y 2z 5 x 1y 2z
若3x y 2z 5 2又 t∴3(3t 1) ( t 2) 2( 2t) 5 2
3 1 2
3 1 ∴t ∴x
77
【19】 设 ABC之三边长x，y，z满足x 2y + z = 0及3x + y 2z = 0，则 ABC之最大角是多少度？
21111 2 x 2y z 0
【解】 x：y：z =：：= 3：5：7
1 2 2331 3x y 2z 0
(3k)2 (5k)2 (7k)21
设三边长为x = 3k，y = 5k，z = 7k则最大角度之cos == ，∴ = 120
2(3k)(5k)2
(x 1)2(y 2)2(z 3)2
1，求x y z之最大值，最小值。 【20】. 设x，y，z R且
1654
Ans 最大值7；最小值 3
【解】
(x 1)2(y 2)2(z 3)2
1 ∵
1654
由柯西不等式知
4