高中数学 柯西不等式习题集
x 12y 22z 32
) () ()[42 ()2 22] (42
2
x 1y 2 4．() 5．() 2． 45
z 3
() 25 1 (x y z 2)2 5 |x y z 2| 2
5 x y z 2 5 ∴ 3 x y z 7 故x y z之最大值为7，最小值为 3
【21】. 求2sin 3cos sin cos cos 的最大值与最小值。 答. 最大值为22，最小值为 22 【详解】
令向量a (2sin ，cos ， cos )，b (1，sin ，cos )
由柯西不等式 |a．b| |a||b|得 | 2sin cos sin cos cos | 4sin2 3cos2 cos2 ，
sin2 cos2 4(sin2 cos2 )(1 sin2 cos2 ) 22
所求最大值为22，最小值为 22
【22】△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：
(a2 b2 c2)(
1112
证明：由三角形中的正弦定理得 ) 36R222
sinAsinBsinC
14R214R214R2a
2，同理 2， 2于是左边= ，所以sinA 222
2RsinAasinBbsinCc4R24R24R22R2R2R2
(a b c)(2 2 2) (a a a ) 36R2。
abcabc
|Ax0 By0 C|
2
2
2
【23】求证:点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=
A B
22
.
证明:设Q(x,y)是直线上任意一点,则Ax+By+C=0.因为|PQ|2=(x-x0)2+(y-y0)2,A2+B2≠0,由柯西不等式得
22
(A2+B2［)(x-x0)2+(y-y0)2］≥［A(x-x0)+B(y-y0)］=［(Ax+By)-(Ax0+By0)］=(Ax0+By0+C)2,所以|PQ|≥
|Ax0 By0 C|
A B
2
2
.
|Ax0 By0 C|x x0y y0Ax By C
时,取等号,由垂线段最短得d=. 0202
22ABA BA B
111
【24】已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式≤λ恒成立,求λ的范围. x yy zz x
当
解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得
1111z111
( ≤
x yy zz x2xy2yz2zx2x y z
x
x y zy
)
x y z
5