高中数学 柯西不等式习题集
1zxy3(12 12 12)( ) 故λ的取值范围是［,+∞). 2x y zx y zx y z22
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本题主要应用了最值法,即不等式化为求f(x,y,z)=
111111
≤λ恒成立,等价于()max≤λ,问题转
x yy zz xx yy zz x
111
的最大值.
x yy zz x
a b c
的值.
x y z
【25】设a,b,c,x,y,z均为正实数,且满足a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求解析:根据已知等式的特点,可考虑用柯西不等式. 由柯西不等式等号成立的条件,知
abca b c
=λ.因此只需求λ的值即可.由柯西不 =λ,再由等比定理,得
xyzx y z
abc
=λ时,上式等号成立. xyz
等式,得302=(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=25×36,当且仅当于是a=λx,b=λy,c=λz,从而有λ2(x2+y2+z2)=25,∴λ=±
abc55
(舍负),即 .
xyz66
竞赛欣赏
1 （1987年CMO集训队试题）设a,b,c R ，求证：
a5 b5 c5 a3bc b3ca c3ab （2-10）
证明：因a2 b2 c2 ab bc ca，由定理1有
a4b4c4(a2 b2 c2)2
a2 b2 c2 此即（2-10）式。 bccaabbc ca ab
b2c2a2
2 设a,b,c
R，求证： a2 b2 c2)
abc
证明：由均值不等式得a3 c2a 2a2c,b3 a2b 2ab,c3 b2c 2bc2，故
2c 2c2 a( a3 b3 c3 a2b b
2
ab
2
b c)
ca
即 (a2 b2 c2)(a b c) 3(ab2 bc2 ca2).
又由柯西不等式知3(a2 b2 c2) (a b
c)2 a b c 又由定理1，得
a4b4c4(a2 b2 c2)23(a2 b2 c2)2
原式右 原式左＝2 2 2 2
acbacbbc ca2 ab2(a2 b2 c2)(a b c)
6