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(2)设动直线l方程为x=ty+b(显然t≠0),则点B,则联立得y2=4(ty+b),
所以Δ=16t2+16b=0,得b=-t2,故可设点A坐标为(t2,2t).
设D(m,n),则=(m-t2,n-2t),,
因为D在以AB为直径的圆上,所以AD⊥BD,
所以=0,
即(m-t2,n-2t)·=0.
化简整理,得(1-m)t2-3nt++(m2+m+n2-2)=0,
所以当且仅当m=1,n=0时,上式对任意t∈R恒成立,
即存在D(1,0),使得以AB为直径的圆恒过点D.
5.(1)解:显然y=2符合题意;
若相切:设l的方程为m(y-2)=x-1,
于是由得y2-4my+8m-4=0.
令Δ=(4m)2-4(8m-4)=0,得到m=1,于是y=x+1.所以,方程为y=2或y=x+1.
(2)证明:设Q,R,
于是k=.
于是QR的方程为=y-y1,得4x-(y1+y2)y+y1y2=0.(*)
又PQ⊥PR,所以k PQ·k PR=-1,易得k PQ=,k PR=,于是=-1,
即y1y2+2(y1+y2)+20=0,代入(*)中,消去y1y2,得4x-(y1+y2)(y+2)-20=0,
令y=-2,于是x=5,故过定点(5,-2).
6.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
将y=x+1代入C:x2=2py,得x2-2px-2p=0.
则x1x2=-2p.
所以k1k2==-.所以p=2.
(2)设E(x3,y3),F(x4,y4),直线m:y=k(x-x0)+y0.
联立抛物线C:x2=4y,
得x2-4kx+4kx0-4y0=0.(*)
则x3+x4=4k=2x0,所以k=x0.
此时(*)式为x2-2x0x+2-4y0=0.
所以Δ=(2x0)2-4(2-4y0)=16y0-4.
所以|EF|=·|x3-x4|=
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