P Q
，所以此曲线积分与路径无关 x2
y x
原式
3 3 xxx
3xedx ysiny dy 3xe 3e y ycosy siny 00
3 3 0
2
2
3 1 e 3
23
2co s23
s in2
七、（本题8分）计算曲面积分
其中
是上半球面z
2x
3
xy2 dydz 2y3 yz2 dzdx 2z3 zx2 dxdy，
a 0 的上侧。
222
解：取曲面 1:z 0x y a并取下侧，利用高斯公式得
原式
5 x2 y2 z2 dv 2x3 xy2 dydz 2y3 yz2 dzdx 2z3 zx2 dxdy
1
5 d 2d 4sin d 2 a5。
2
a
八、（本题7分）求定解问题tanx
dy
2ecosx y 0,y dx
x
2
1的解。
解：方程化为y cotx y 2ecosx
cotxdx cosx cotxdx lnsinx
y e 2eedx C e
2e
cosxlnsinx
edx C
1
sinx
2sinxe
coxs
2ecoxs Cdx C
sinx
3 2ecosx
,y 1得C 3，所求特解为y 由x 。 2sinx
九、（本题7分）求微分方程y 4y e的通解。
解：1）求y 4y 0的通解，
解特征方程r 4r 0得，r1 0,r2 4， 其通解为y C1 C2e4x
*4x
2）因为 4单特征根，所以原方程有形如y axe的特解，
2
4x
代入原方程得