4a 1 a 原方程的通解为y C1 C2e
4x
1 4
14x
xe。 4
十、（本题7分）设函数f x 在区间 , 有连续导数，且满足
f t 2
2
x y t
x
2
2
2
y2 f
dxdy t4
求f x 。 解：f t 2
2
x y t
x
2
2
2
y2 f
3
3
dxdy t4
4
t
2
2
d rf r dr t 4 r3f r dr t4
t
两边关于t求导得：f t 4 tf t 4t f t 4 tf t 4t
3
3
3
f t e
4 t3dt
4t3e 4 t3dtdt C e t4
3 t
4tedt C
4
e
t4
1 t4 e C
1
，所以f t
由f 0 0得C
1 e t
4
。
（非化工类做）
十一、 （每小题5分，共15分）
1
）判别无穷级数
n 1
的敛散性。
解：因为
0，所以此级数是正项级数，又因为
1n0
dx 2
x 1
3 x2 2 3
3n2 2 0
1n
级数
n 1
23n
32
收敛，由比较判别法得级数
n 1
收敛。