不规则截面制动蹄的鼓式制动器制动尖叫的研究
图6.通过曲线方程和制动蹄横截面获得的原始制动蹄的网的形状
Elin，blin，rlin和hlin 分别表示杨氏模量，宽度，半径和衬片的厚度。势能产生于拱门末端的接触刚度
δ(ζ-α)和δ(ζ-α)为Dirac三角函数。
4.2.圆环和拱门的模态振型
在本文我们对3.1kHz频率的尖叫进行分析，所以将运用一对圆环的第二类弯曲模型。拱门的模态振型将利用一系列的试探函数进行逼近，因为拱门拥有的是不规则横截面而且被组装在相当于固定而宽大的鼓的圆环上。这意味着逼近方法偏向于通过单独为对拱门考虑一系列的试探函数获得。
圆环的圆周方向的位移
ε1(t)和ε2(t)分别表示一对圆环的广义坐标，常数n是节线的序号；例如，第二类弯曲模型的n是3。仅仅通过一对圆环，特定频率的尖叫就可以单独进行分析。而圆环的径向位移可以通过方程(4)和(10)进行估算。
N是试探函数的序号而δ1j(t)，ξ1j(t)，δ2j(t)和ξ2j(t)分别为这些函数的广义坐标。
4.3.摩擦产生的广义力
通过圆环与拱门相对位移产生的施加在拱门上的摩擦力为
μ为衬片的摩擦系数。大小相等方向相反的摩擦力施加在圆环上。摩擦力施加在拱门上产生的广义力通过如下表达式得到
不规则截面制动蹄的鼓式制动器制动尖叫的研究
就圆环来说，广义力为
4.4.运动方程
通过把方程(1)-(15)带入拉格朗日方程，得到与摩擦相关的鼓式制动器的运动方程形如
i为1到N的整数；整数i为方程(16c)-(16f)中 c8i，c9i，c10i和c11i的下标。因此，(16c)-(16f)中任何一个方程都可以扩展为N个方程；方程总数为4N+2。系数(c21-c29)在附录A中标出。这些运动方程可以排列为如下矩阵式
x 1 2 11 1N 11 1N 21 2N 21 2N ，
T
不规则截面制动蹄的鼓式制动器制动尖叫的研究
M和K为(4N+2)×(4N+2)矩阵；子矩阵M11和K11为2×2矩阵而M和K中其他对角矩阵为N×N矩阵。置矩阵的其他元素在附录B中表出。
制动系统的动态稳定性可以由方程(17)特征值的实部决定。当摩擦系数μ为零时矩阵M和K是对称的，但是当μ不为零时K则是非线性的。K的非线性可以引导正实部影响系统的负阻尼比；而负阻尼比导致系统偏离的震动。因此，系统将变得不稳定以致尖叫的产生。
5.等价参数
本文仅通过一对圆环的第二类弯曲模型执行对3.1kHz频率的尖叫的模拟。因此与3.1kHz频率尖叫相联系的鼓式制动器的等价参数将展现与本文中。
圆环的截面区域和弯曲刚度将不同于通过制动鼓的截面尺寸直接估算而得到的结果。圆环的两个参数应当作为制动鼓的模型特征表现出来的等价参数进行估算。尽管，这两个等价参数不能同时获得。当圆环的固有频率已知时，两个等价参数中的一个得到确定，则另一个等价参数也将得到确定。这是因为截面区域和弯曲刚度分别适用于于动能和势能，而固有频率由动能和势能共同决定。相应的，圆环的等价参数由以下程序获得。
(i)通过FE analysis估算制动鼓的参考动能；参考动能不包括制动鼓的固有频率。参考动能用于替代动能，因为通过FE analysis估算得到的制动鼓的固有频率并不精确等同于真实的制动鼓的固有频率。图7（a）展示了用于估算的模式2d的参考动能。
(ii)估算圆环的第二类弯曲模型的参考动能为截面区域的一个函数Ad。
(iii)通过两个参考动能的实际值获得Ad，通过以上程序估算，应当是两个相同的值。
图7.自由支撑状态下通过FE analysis提取的制动鼓和制动蹄的模态振形：（a）制动鼓的2d模式；（b）
制动蹄的2s模式。
表3