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??VTPV?2KT(AV?W) （2.15）
为引入最小二乘法,将Φ对V求一阶导数,并令其为零：
d??(VTPV)?(KTAV)??2?2VTP?2KTA?0 dV?V?V得：
VTP?KTA
上式两端转置，得 PTV?ATK 由于P是主对角线阵，则 P?PT，得 ： PV?ATK 将上式两边左乘权逆阵 P?1 ，得：
V?P?1ATK
此式称为改正数方程，其纯量形式为：
vi?（2.16）
1(aika?bikb???rikr) (i?1,2,?,n) （2.17） pi将（2.16）式代入（2.13）式，得
AP?1ATK?W?0 （2.18）
此式称为联系数法方程（简称法方程）
取法方程的系数阵AP?1AT?N，由上式易知N阵关于主对角线对称，得法方程表达式 ：
NK?W?0 （2.19）
法方程数阵N的秩：
R(N)?R(AP?1AT)?r
即，N是一个r阶的满秩方阵，且可逆。将（2.18）式移项，得：
NK?W 上式两边左乘法方程系数阵N的逆阵 N?1 ，得联系数K的唯一解：
K?N?1W （2.20）
将（2.20）式代入（2.16）或（2.17）式，可计算出V，再将V代入（2.10）,即可计
??L?V 。 算出所求的观测值的最或然值 L?，可以进一步计算一些未知量（如待定点的高程、纵横坐标以通过观测值的平差值L及边的长度、某一方向的方位角等）的最或然值。
?都是由（2.13）和（2.16）式解算出的，因此我们把由上述推导可看出，K、V及L（2.13）和（2.16）式合称为条件平差的基础方程。
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2.3.3条件平差的计算步骤
综合以上所述，按条件平差的计算步骤可归结为以下几步：
（1）根据实际问题，确定出总观测值的个数n、必要观测值的个数t及多余观测个数r = n - t，进一步列出最或是值条件方程（2.12）或改正数条件方程（2.13）； （2）根据（2.18）式，组成法方程式； （3）依据（2.20）式计算出联系数K；
（4）由（2.16）式计算出观测值改正数V；并依据（2.10）式计算出观测值的平差值；
2?0 ； （5）根据（2.22）和（2.23）计算单位权方差 ?和单位权中误差??0（6）列出平差值函数关系式（2.29），并对其全微分，求出其线性函数的系数阵f，利用（2.32）式计算出平差值函数的协因数QFF，代入（2.33）计算出平差值函数的协方差DFF。
?代入平差值条件方程式（2.12） （7）为了检查平差计算的正确性，可以将平差值L，看是否满足方程关系。 2.3.4精度评定
1．计算单位权方差和中误差的估值
根据中误差的定义，单位权中误差的计算公式为
?0???[p??]
r （2.21）
在一般情况下，观测值的真误差△是不知道的，也就不可能利用上式计算单位权中误差。但在条件平差中，可以通过观测值的改正数V来计算单位权方差和中误差：
VTPV?? ?r （2.22）
20VTPV?0???
r （2.23）
式中r为多余观测值个数，r = n–t。
在（2.23）中，须先算出VTPV的值，才能计算单位权中误差。VTPV可用下列几种方法计算：
（1）直接利用定义式（2.22）计算。 纯量形式为：
VTPV?[pvv]?p1v1?p2v2???pnvn （2.24）
（2）由（2.16）和（2.13）式导出
VTPV?VTP(P?1ATK)?VTATK?(AV)TK?WTK
即 VTPV?WTK （2.25） 其纯量形式为: VTPV?waka?wbkb???wrkr （2.26）
2．协因数阵
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条件平差的基本向量L、W、K、V、 都可以表达成随机向量L的函数 L?L
W??AL?A0
K?N?1W??N?1(AL?A0)??N?1AL?N?1A0
V?P?1ATK?P?1AT(?N?1AL?N?1A0)??P?1ATN?1AL?P?1ATN?1A0
??L?V?L?(?P?1ATN?1AL?P?1ATN?1A)L0?(E?PANA)L?PANA0?1T?1?1T?1
?组成列向量，并以Z表示之 将向量L、K、V、L?E??0??L????A??A??W???0???????1?1Z??K????NA? （2.27） ?L???NA0??P?1ATN?1A??V???1T?1???1T?10?????PANA????L???????PANA0???1T?1?E?PANA?式中等号右端第二项是与观测值无关的常数项阵，按协因数传播律，得Z的协因数阵为：
?QLLQLWQLKQLVQLL???Q?QQQQ?WLWWWKWVWL??QZZ??QKLQKWQKKQKVQKL????QQQQQ?VWVKVV?VLVL??Q??QLQLQL?W?K?V?L???LLQL
?QATN?1AQQ?QATN?1AQ??AQ0??1? NAQ0（2.28）?T?1QANAQ0?0Q?QATN?1AQ??
?与闭合差W、联系数K、改正数V是不相关的统计量，又由于由上式可见，平差值L?与W、K、V也是相互独立的向量。 它们都是服从正态分布的向量，所以L?Q?QAT??AQN? ???N?1AQE?T?1QAT??QANAQ?Q?QATN?1AQ0??QATN?1EN?1QATN?103．平差值函数的协因数
在条件平差中，平差计算后，首先得到的是各个观测量的平差值。例如，测角网中的观测角度的平差值，导线网中的角度观测值和各导线边长观测值的平差值等。而我们进行测量的目的，往往是要得到未知点的坐标值、三角网的边长值及方位角值等，并且评定其精度。这些值都是关于观测值平差值的函数。
设有平差值函数：
??f(L?,L?,?,L?) F12n （2.29）
对上式全微分得：
?f??f??f?????????????? ??dL??dL??dFdL12n??L????????????L?L?1?L?L?2?L?L?n?L?L中国矿业大学2012届本科生毕业设计第 10 页
取全微分式的系数阵为：
???f???f????f???? ?,??,??,?f??f1,f2,??,fn?????L?????L??????????L2?L?L?n?L?L??L???1?L由协因数传播律得：
TQFF?fTQL?L?f （2.30）
根据QZZ的等式，知：
T?1QL?L??Q?QANAQ （2.31）
代入（2.30）式得：
TT?1QFF?fTQL?L?f?f(Q?QANAQ)f
即
QFF?fTQf?fTQATN?1AQf
（2.32）
此式即为平差值函数式（2.29）的协因数表达式。 则得该平差值函数的方差：
2?0DFF??QFF （2.33）
2.4间接平差原理
2.4.1间接平差的数学模型
间接平差法（参数平差法）是通过选定t个与观测值有一定关系的独立未知量作为参
数，将每个观测值都分别表达成这t个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值。[1]
一般地，间接平差的函数模型为：
n,1??dL?BXn,tt,1?n,1 （2.34）
平差时，为了计算方便和计算的数值稳定性，一般对参数都取近似值，令：
??X0?x ?X （2.35）代入（4-1-4）式，并令：
l?L?(BX0?d)?L?L0 （2.36）
由此可得误差方程：
??l （2.37） V?Bx?视为非随机参数，不式中l为误差方程的自由项，对于经典间接平差，将未知参数X考虑其先验统计性质，根据（2.35）式，可得平差后QX由（2.36）式可得Qll?QLL。 ?X??Qx?x?，
间接平差的随机模型为：
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n,n22D??0Q??0P?1n,nn,n
（2.38）
平差准则为：
VTPV?min （2.39） 间接平差就是在最小二乘准则要求下求出误差方程中的待定参数，在数学中是求多元函数的自由极值问题。 2.4.2间接平差的的一般原理
设平差问题中有n个观测值L，已知其协因数阵Q?P?1，必要观测数为t，选定t个独
?0???，观测值L与改正数V之和L?L?V，称为观测量的平立参数X，其近似值为X?X?x差值。按具体平差问题，可列出n个平差值方程为：
???Li?vi?aiX1?biX2???tiXt?di（i=1，2，3，?，n） （2.40） 令 ：
n,1L??L1L2?Ln?V2?Vn?TV??V1n,1T??X?X1t,1n,1???X?X2td2?dn?T?Td??d1?a1?aB??2 n,t????anb1?t1?b2?t2?? ?????bn?tn?则平差值方程的矩阵形式为：
??dL?V?BX （2.41）
令：
??X0?x?Xl?L?(BX?d)0
式中X0为参数的充分近似值，于是可得误差方程式为
??l （2.42） V?Bx按最小二乘原理，上式的必须满足的要求，因为t个参数为独立量，故可按数学上求
函数自由极值的方法，得：
?VTPV?V?2VTP?VTPB?0 ???x?x转置后得：
BTPV?0 （2.43）
?，而方程个数也是n+t 以上所得的（2.42）和（2.43）式中的待求量是n个V和t个x个，有唯一解，称此两式为间接平差的基础方程。
解此基础方程，一般是将（2.42）式代入（2.43）式，以便先消去V，得：
??BTPl?0 （2.44） BTPBx令