（Ⅰ）求证：AC⊥BC1； （Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1．
（Ⅲ）设AB=2AA1，AC=BC，在线段A1B1上是否存在点M，使得BM⊥CB1？若存在，确定点M的位置；若不存在，说明理由．
【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．
【专题】证明题；图表型；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．
【分析】（I）先证明CC1⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC1=C，可证AC⊥平面BCC1B1，从而可证AC⊥BC1．
（Ⅱ）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，可证DE∥AC1．即可判定AC1∥平面CDB1．（Ⅲ）可证AA1⊥CD，CD⊥AB，从而证明CD⊥平面AA1B1B，取线段A1B1的中点M，连接BM．可证CD⊥BM，BM⊥B1D，即可证明BM⊥平面B1CD，从而得证BM⊥CB1． 【解答】（本小题满分14分）
证明：（I）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为CC1⊥底面ABC，AC?底面ABC， 所以CC1⊥AC．
又AC⊥BC，BC∩CC1=C， 所以AC⊥平面BCC1B1． 而BC1?平面BCC1B1， 则AC⊥BC1．…
（Ⅱ）设CB1与C1B的交点为E，连结DE， 因为D是AB的中点，E是BC1的中点， 所以DE∥AC1．
因为DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1， 所以AC1∥平面CDB1．…
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（Ⅲ）在线段A1B1上存在点M，使得BM⊥CB1，且M为线段A1B1的中
点．
证明如下：因为AA1⊥底面ABC，CD?底面ABC， 所以AA1⊥CD． 由已知AC=BC，D为线段AB的中点， 所以CD⊥AB． 又AA1∩AB=A， 所以CD⊥平面AA1B1B．
取线段A1B1的中点M，连接BM． 因为BM?平面AA1B1B，所以CD⊥BM．
由已知AB=2AA1，由平面几何知识可得BM⊥B1D． 又CD∩B1D=D，所以BM⊥平面B1CD． 又B1C?平面B1CD， 所以BM⊥CB1．…
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【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定和性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．
21．已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过两点，P是E上的动点． （1）求|OP|的最大值；
（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，求证：直线MA与直线MB的倾斜角互补．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质． 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）设椭圆E的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），将
代入椭圆E的方程，求得m，n即可；
（2）因为直线l平行于OM，且在y轴上的截距为b，所以可得直线l的方程为椭圆的方程联立，得到根与系数的关系，利用直线的斜率公式即可证明结论． 【解答】解：（1）设椭圆E的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n） 将解得
，
代入椭圆E的方程，得
．与
所以椭圆E的方程为，
设点P的坐标为（x0，y0），则又P（x0，y0）是E上的动点，所以代入上式得故y0=0时，|OP|max=
，
．|OP|的最大值为
．
，得，
．
，
（2）因为直线l平行于OM，且在y轴上的截距为b，又
所以直线l的方程为．由
得x2+2bx+2b2﹣4=0，
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设A（x1，y1）、B（x2，y2），则
，
．
又，
故=．
又
所以上式分子==
，
故k1+k2=0．
所以直线MA与直线MB的倾斜角互补．
【点评】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线斜率计算公式与直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．
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