考点： 一元二次方程的应用；勾股定理． 专题： 几何图形问题． 分析： 本题可分别用未知数表示出两人的路程，再根据勾股定理列出方程求出未知数的值． 解答： 解：设经过x秒时两人相距85m， 根据题意得（4x）+（50+3x）=85， 2去括号得25x+300x=4725， 2即25x+300x﹣4725=0， 2化简得x+12x﹣189=0， ∴（x﹣9）（x+21）=0， 解得x1=9，x2=﹣21（不符合实际情况，舍去）， 当x=9时，4x=36，50+3x=77． ∴当两人相距85m时，甲在O点以东36m处，乙在O点以北77m处． 故当两人相距85米时，甲在O点以东36米处，乙在O点以北77米处． 点评： 本题综合考查了方向角，一元二次方程的应用和勾股定理等知识点．要注意的是方向角问题中，南北和西东是垂直的． 26．（6分）（2010?淄博）已知关于x的方程x﹣2（k﹣3）x+k﹣4k﹣1=0． （1）若这个方程有实数根，求k的取值范围； （2）若这个方程有一个根为1，求k的值；
（3）若以方程x﹣2（k﹣3）x+k﹣4k﹣1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数
2
2
2
2
222的图象上，求满
足条件的m的最小值． 考点： 根与系数的关系；一元二次方程的解；根的判别式；反比例函数图象上点的坐标特征． 分析： （1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围． （2）将x=1代入方程，得到关于k的方程，求出即可， （3）写出两根之积，两根之积等于m，进而求出m的最小值． 22解答： 解：（1）由题意得△=[﹣2（k﹣3）]﹣4×（k﹣4k﹣1）≥0 化简得﹣2k+10≥0，解得k≤5． （2）将1代入方程，整理得k﹣6k+6=0，解这个方程得222，． （3）设方程x﹣2（k﹣3）x+k﹣4k﹣1=0的两个根为x1，x2， 2根据题意得m=x1x2．又由一元二次方程根与系数的关系得x1x2=k﹣4k﹣1， 22那么m=k﹣4k﹣1=（k﹣2）﹣5，所以，当k=2时m取得最小值﹣5． 点评： 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根． 27．（7分）（2007?青岛）将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．
（1）求证：△ABE≌△AD′F；
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（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．
考点： 全等三角形的判定；菱形的判定． 专题： 几何综合题． 分析： （1）根据平行四边形的性质及折叠的性质我们可以得到∠B=∠D′，AB=AD′，∠1=∠3，从而利用ASA判定△ABE≌△AD′F； （2）四边形AECF是菱形，我们可以运用菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行验证． 解答： （1）证明：由折叠可知：∠D=∠D′，CD=AD′， ∠C=∠D′AE． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D，AB=CD，∠C=∠BAD． ∴∠B=∠D′，AB=AD′，∠D′AE=∠BAD， 即∠1+∠2=∠2+∠3． ∴∠1=∠3． 在△ABE和△AD′F中 ∵ ∴△ABE≌△AD′F（ASA）． （2）解：四边形AECF是菱形． 证明：由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠5=∠6． ∴∠4=∠6． ∴AF=AE． ∵AE=EC， ∴AF=EC． 又∵AF∥EC， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵AF=AE， ∴平行四边形AECF是菱形．
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点评： 此题考查了全等三角形的判定及菱形的判定方法，做题时要求学生对常用的知识点牢固掌握． 28．（6分）如图，不重合的A（2，n）、B（n，2）两点在
（x＞0）反比例函数的图象上，BC垂直于y轴于
点C．
（1）求n的值；
（2）判断△ABC的形状； （3）若存在点P（m，0），使△PAB是直角三角形，求出满足条件的所有m的值．
考点： 反比例函数综合题． 专题： 综合题． 分析： （1）将A坐标代入反比例解析式中得到关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值； （2）三角形ABC为等腰直角三角形，理由为：过A作AE垂直于x轴，与BC交于D点，由A，B及C的坐标得到AD=DE=CD=BD=2，三角形ADC与三角形ADB为等腰直角三角形，可得出AC=AB，∠CAD=∠BAD=45°，进而得到∠CAB=90°，即可得到三角形ABC为等腰直角三角形； （3）由AD=BD=DE=2，同（2）得到三角形ABE为等腰直角三角形，当P与E重合时，三角形PAB为直角三角形，此时P（2，0），确定出m=2；延长AC与x轴交于P点，设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC解析式，令y=0求出x的值，确定出此时P的坐标，即可求出此时m的值，综上，得到所有满足题意m的值． 解答： 解：（1）把A（2，n）代入y=（x＞0）得：2n=n+4， 解得：n=4； （2）△ABC为等腰直角三角形，理由为： 过A作AE⊥x轴，交BC于点D， 由（1）可知：A（2，4），B（4，2）， ∵BC⊥y轴于点C， ∴点C（0，2）， ∴CD=BD=AD=DE=2， ∴△ACD与△ABD都为等腰直角三角形， ∴∠CAD=∠BAD=45°，即∠CAB=90°， ∵AC=AB=2， ∴△ABC为等腰直角三角形； （3）连接BE， ∵AD=DE=BD=2，BD⊥AE， ∴△ABD与△BDE都为等腰直角三角形，即∠ABD=∠EBD=45°，
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∴∠ABE=90°，AB=BE=2， 则当P与E重合时，△PAB为直角三角形，此时P坐标为（2，0）； 延长AC与x轴交于点P，连接PB，此时∠PAB=90°，△PAB为直角三角形， 设直线AC解析式为y=kx+b， 将A与C坐标代入得：解得：， ， ∴直线AC解析式为y=x+2， 令y=0，求得：x=﹣2，即P（﹣2，0）， 综上，m的值为2或﹣2． 点评： 此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 19