数列与不等式
1．把正奇数数列{2n?1}中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：
1 3 5 7 9 11 ……………………… ……………………………
设amn?m,n?N*?是位于这个三角形数表中从上往下数第m行、从左往右数第n个数．
（1）若amn?2011，求m，n的值； （2）已知函数f(x)的反函数为f?1(x)?8x(x?0)，若记三角形数表中从上往下数第nn3行各数的和为bn，求数列{f(bn)}的前n项和Sn． 解：（1）?三角形数表中前m行共有1?2?3?…?m? ?第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第 故第m行最后一个数是2?m(m?1)2?1?m22m(m?1)2个数，
m(m?1)2项．………………………2分
?m?1．
因此，使得amn?2011的m是不等式m?m?1?2011的最小正整数解． 由m?m?1?2011得m?m?2012?0
?1?1?80482?1?2222 ?m??7921??1?892?44,?m?45.
于是，第45行第一个数是44?44?1?2?1981 ?n?2011?19812?1?1?16.……………………………………………………………4分
n3 （2）?f(x)?8xxn?y(x?0)，
3 故f(x)?2(x?0) ．…………………………………………………………………6分
?第n行最后一个数是n?n?1，且有n个数，若将n?n?1看成第n行第一个数，
则第n行各数成公差为?2的等差数列，故bn?n(n?n?1)? ?f(bn)?n2n222n(n?1)2(?2)?n．
3．…………………………………………………………………………8分
1
故Sn?因为
1212?2222??3223?…??324n?12n?1?n22nn．
?n2n?1Sn?1223?…?n?1，
两式相减得：
12Sn?12?122?123?…?12n?n2n?1．………………………………………………10分
1?1??1?n?n1n22? ???n?1?1?n?n?1．
12221?2 ?Sn?2?
n?22n．………………………………………………………………………14分
2．在单调递增数列{an}中，a1成等比数列，n?1,2,3,??1，a2?2，且a2n?1,a2n,a2n?1成等差数列，a2n,a2n?1,a2n?2．
（1）分别计算a3，a5和a4，a6的值； （2）求数列{an}的通项公式（将an用n表示）； （3）设数列{1an}4nn?2的前n项和为Sn，证明：Sn?，n?N*．
解：解：（1）由已知，得a3?3，a5?6，a4?（2）（证法1）a1?2292，a6?8 . …………2分 ，a5?122?3?4222?1?22，a3?262?2?32，……；
a2?2，a4?322，a6?42，…….
(n?1)22∴猜想a2n?1?n(n?1)2,a2n?，n?N*， …………………4分
以下用数学归纳法证明之．
①当n?1时，a2?1?1?a1?1，a2?1?222?2，猜想成立；
k(k?1)2②假设n?k(k?1,k?N*)时，猜想成立，即a2k?1?(k?1)22,a2k?(k?1)22，
那么a2(k?1)?1?a2k?1?2a2k?a2k?1?2??k(k?1)2?(k?1)?(k?1)?1?2,
2
2?(ka2(k?1)?a2k?2?a2k?1a2k2?1)(k?2)?2(k?1)22??(k?2)22??(k?1)?1?22.
∴n?k?1时，猜想也成立．
由①②，根据数学归纳法原理，对任意的n?N*，猜想成立． ……………6分
n?1?n?1??1??2?2?2?n???1??2?222∴当n为奇数时，an??(n?1)(n?3)8；
当n为偶数时，an??(n?2)8．
即数列{an}的通项公式为an?(n?1)(n?3),n为奇数??8． …………9分 ??2?(n?2),n为偶数?8?18n2（注：通项公式也可以写成an?（证法2）令bn?a2n?1a2n?1?12n?7?(?1)16n）
，n?N*，则
2??a2k?1a2k2bn?1?a2k?3a2k?1?2a2k?2?a2k?1a2k?1?a2k?1?2a2k?1a2ka2k?1?1
?2a2k?1a2k?1?a2k?122(bn?1)1?bn?1bn?1124??1?1?1bn?1?1a2k?1a2k?1a2k?1a2k?1(bn?1)?22(bn?1)?12?1b1?11bn?1?1?4bn1?bn?1．
∴bn?1?1?从而故{1bn?1?11bn?1，
?12?1bn?1?12?． ，
12?(n?1)?12?n2（常数），n?N*，又
12}是首项为，公差为
a2n?1a2n?1a7a5的等差数列，∴
n?2na2n?3a2n?5?，
解之，得bn?∴a2n?1?a1??1?31n?2n，即
a5a353?，n?N*． …………………………6分
?a2n?1a2n?3?a3a1??42????nn?2
，
????n?1n?1n(n?1)2 3
n(n?1)从而a2n?a2n?1?a2n?12?2?(n?1)(n?2)22?(n?1)22．（余同法1）……8分 ，余下解法与法2类似）
（注：本小题解法中，也可以令bn?a2n?2a2n2，或令bn?a2na2n?1（证法3）由题意可知an?0且2a2n?a2n?1?a2n?1，
又a2n?1?a2na2n?2且a2n?1?a2n?2a2n， ∴2a2n?即2a2n?a2n?2a2n?a2n?2?a2na2n?2， a2n?2，
a2?222∴ 数列?a2n?是首项为2，公差为a4?∴a2n?解得a2n?2的等差数列，
2??n?1??22，
?n?1?22，
n2∴ a2n?1?a2n?2a2n?2??n?1?22，解得a2n?1?n?n?1?2，
∴数列{an}的通项公式为an?(n?1)(n?3),n为奇数??8． ??2(n?2)?,n为偶数?8?
8?,n为奇数?(n?1)(n?3)1?（3）（法1）由（2），得． ??8an?,n为偶数2??(n?2)显然，S1?1a1?1?43?4?11?2； …………………………10分
当n为偶数时，
?1?1111111Sn?8??2??2??2???? 2?2?44?66?8n?(n?2)468(n?2)????1???1??11??11?11???8???????????????????2?42?44?64?66?86?8n?(n?2)n(n?2)?????????? ?8????1??2?1??11??11?1?1??????????????4??46??68?n?2?n???? ??1?4n?1?8???； …………………………12分 ?n?2?n?2?2当n为奇数（n?3）时，Sn?Sn?1?1an?4(n?1)(n?1)?2?8(n?1)(n?3)
4
??n?12n?4n84n?4??????. ?n?2n?2?n?2(n?1)(n?2)(n?3)n?2?n?1(n?1)(n?3)4n4nn?2综上所述，Sn?，n?N*． …………………………14分
8?,n为奇数?(n?1)(n?3)1?（解法2）由（2），得． ??8an?,n为偶数2??(n?2)以下用数学归纳法证明Sn?①当n?1时，S1?当n?2时，S2?1a1?1a11a2?1?4nn?2，n?N*．
4?11?24312??；
4?22?2?1?32?2?．∴n?1,2时，不等式成立．……
11分
②假设n?k(k?2)时，不等式成立，即Sk?那么，当k为奇数时，
Sk?1?Sk?1ak?1?4kk?2?8(k?3)24kk?2，
?4(k?1)k?3?k2k?1?4(k?1)84(k?1)?4??????； ?22k?2k?3k?3(k?1)?2(k?3)(k?2)(k?3)??1ak?14kk?28(k?2)(k?4)当k为偶数时，
Sk?1?Sk???
?4(k?1)k?3?k2k?1?4(k?1)8?4??????(k?2)(k?4)k?3?k?3(k?2)(k?3)(k?4)?k?2?4(k?1)(k?1)?2．
∴n?k?1时，不等式也成立．
由①②，根据数学归纳法原理，对任意的n?N*，不等式Sn?
8?,n为奇数?(n?1)(n?3)1?另解：∵， ??8an?,n为偶数2??(n?2)4nn?2成立．……14分
显然∴Sn1an?1?8n?3n?21a2???1an2?1??1?8???成立，
?n?1??n?2??n?1n?2?8a1?1?4n?1??11??11?1???1?8???8?????????????????n?2?n?2?2?n?1n?2????23??34?
5