①n=1时，a1=12,a2=sin(p2a1)=sinp4=22.\\0
②假设n=k时结论成立，即0
ak+1)<1，即0
也就是说n=k+1时，结论也成立.
由①②可知，对一切n?N均有0
an-
4-p4 （4分）
12?an1.
p4an>4-p4，即证sin(.
x?[12p2an)-p4>0，其中
p2x)-p2p4x)-x-p44-p4=p2,1).
23由g￠(x)=cos([cos(p2x)-12]=0，得x=. （6分）
x (12,23) 23 (23,1) g￠(x)g(x)
4-p4+ ?0 极大值 — ? 又g(1)=0，
1g()=222p8--=42+p-88>0.
∴当x?[,1)，g(x)>0.
21∴sin(p2x)-p4p4x>4-p44-p4.
∴sin(p2an)-an>. 即an+1-p4an>4-p4. （9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
1-an+1 （11分） 11 1∴(1-a1)+(1-a2)+鬃?(1-an)<12+12?(p4)鬃?12?(p4)n-121-p4=24-p. ?∴Tn=a1+a2+鬃24-p3p-104-pan>n-24-p2. （13分） 又 -3=<0，即n- 4-p>n-3. ∴Tn>n-3. （14分） 8． (2011广州一模)已知函数y?f?x?的定义域为R, 且对于任意x1,x2?R,存在正实数L,使得f?x1??f?x2??Lx1?x2都成立. (1) 若f?x??1?x2,求L的取值范围； (2) 当0?L?1时，数列?an?满足an?1?f?an?，n?1,2,?. n① 证明：?ak?ak?1?k?111?La1?a2； ② 令Ak? a1?a2??akkn?k?1,2,3,??，证明：?Ak?Ak?1?k?111?La1?a2. (1) 证明：对任意x1,x2?R，有： f?x1??f?x2?? ?1?x1?221?x2 22x1?x21?x1?2 21?x2 ?x1?x2?x1?x21?x1?2. …… 2分 21?x2 由f?x1??f?x2??Lx1?x2,即x1?x21?x1?2x1?x2?x1?x21?x1?21?x22?Lx1?x2. 当x1?x2时,得L?. 221?x2 ?1?x1?x1,1?x2?x2,且x1?x2?x1?x2， 2 12 ∴x1?x21?x1?2?2x1?x2x1?x2?1. …… 4分 1?x2 ∴要使f?x1??f?x2??Lx1?x2对任意x1,x2?R都成立,只要L?1. 当x1?x2时, f?x1??f?x2??Lx1?x2恒成立. ∴L的取值范围是?1,???. …… 5分 (2) 证明：①∵an?1?f?an?，n?1,2,?, 故当n?2时，an?an?1?f?an?1??f?an??Lan?1?an ?Lf?an?2??f?an?1??Lan?2?an?1???Ln2n?1a1?a2. … 6分 ∴?ak?ak?1?a1?a2?a2?a3?a3?a4???an?an?1 k?1 ??1?L?L???L2n?1?a1?a2 …… 7分 ?∵0?L?1, n1?Ln1?La1?a2. …… 8分 ∴?ak?ak?1?k?111?La1?a2(当n?1时,不等式也成立). …… 9分 ②∵Ak?a1?a2??akk, a1?a2???ak?1k?1 ∴Ak?Ak?1?a1?a2???akk1k?k?1?? ??a1?a2???ak?kak?1? ?1k?k?1?1k?k?1??a1?a2??2?a2?a3??3?a3?a4????k?ak?ak?1? ??a1?a2?2a2?a3?3a3?a4???kak?ak?1?. …… 11分 13 n∴?Ak?Ak?1?A1?A2?A2?A3???An?An?1 k?1?111?a1?a2??????1?22?3n?n?1????111?2a2?a3????????2?33?4n?n?1????1???nan?an?1? ??n?n?1???????111?3a3?a4??????3?44?5n?n?1?? ?a1?a2?1???2?n?????a?a1????a?a1?23?nn?1???? n?1?n?1n?1????1 ?a1?a2?a2?a3???an?an?1 ?11?La1?a2. ……14分 9．(2011年四校联考21) 已知函数f(x)?x?b（常数k,b?R）的图像过点(4,2)、(16,4)两点. （1）求f(x)的解析式； （2）若函数g(x)的图像与函数f(x)的图像关于直线y?x对称，若不等式 g(x)?g(x?2)?2ax?恒成立2,求实数a的取值范围； k（3）若P1,P2,P3,?,Pn,?是函数f(x)图像上的点列，Q1,Q2,Q3,?,Qn,?是x正半轴上的点列，O为坐标原点，?OQ1P1,?Q1Q2P2,?,?Qn?1QnPn,?是一系列正三角形，记它们的边长是a1,a2,a3,?,an,?，探求数列?an?的通项公式，并说明理由. ?2?4?b1?b?0,k??f(x)?解：（1）?k24?16?b?2kx …………… 3分 （2）g(x)?x(x?0) x?2?0?g(x)?g(x?2)?2ax?2??2 2x?(x?2)?2ax?2?原问题等价于a?x?利用函数y?x?1x1x?2在x?[2,??)恒成立 ……………6分 ?2在区间[2,??)上为增函数可得a?? ……………8分 ??y?（3）由???y?x3x?x?13?a1?23 …………… 9分 14 ?y?x??由???y?3(x?Sn?1)3x?131x?3Sn?1?0?x?1?6Sn?1?61?12Sn?1 将x代人an?2(x?Sn?1)?已知(an?又(an?1??(an?1?1313?31?12Sn?1，由此原问题转化为 23)?221919?(1?12Sn?1)且a1?，求an …………… 11分 13)?(an?2)?2?(1?12Sn)，两式相减可得：(an?1?13)?(an?1?an)(an?1?an?213)?243an 13)?(an?23)?0 又，因为an?0，所以an?1?an?从而{an}是以 2323?0 2n3为首项， 23为公差的等差数列，即an? ……………14分 10．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn? (I) 求数列{an}的通项公式； (II) 若bn??求Tn； ?an?2nn2?3n2． (n为奇数)(n为偶数)，数列{bn}的前n项和为Tn， n?0 n?n?1 (III) 张三同学利用第(II)题中的Tn设计了一个程序如图，但李四同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”(即程序会永远循环下去，而无法结束) ．你是否同意李四同学的观点？请说明理由． 解：(I)当n=1时，a1?S1?2； 当 n?3n22P?n*n/4?24*n Tn?P?2011？ Yes 时 2No n≥2， 1打印n an?Sn?Sn?1???n?1??2?n??3?n?1， 结束 ∴ an?n?1?n?N*?． (II)当n为偶数时，Tn??b1?b3???bn?1???b2?b4???bn? ??a1?a3???an?1???2?2???224n? 15 a?an?1n4?1?2?1??221?4n? ?n?2n42?43?2n?1?． 2当n为奇数时，则n+1为偶数，Tn?1??n?1??2?n?1?4?43?2n?1?1? ?n?4n?342?43?2n?1?1?， 而Tn?1?Tn?bn?1?Tn?2n?4n?3422n?1， 43∴ Tn??13?2n?1?． ?n?2n2n?14??2??n为偶数???433∴ Tn??． 2?n?4n?3?1?2n?1?4n为奇数???433?n2(III) P?4?24n，设dn?Tn?P?n?N*?， 当n为奇数时，dn?若dn?2?dn?2n?113?2n?1?472n?712， ?47?0，则n≥5， ∴ 从第5项开始?an?的奇数项递增而d1,d3,?,d11均小于2011且d13?2011， ∴ 此时dn?2011； 当n为偶数时，dn?若dn?2?dn?2n?223?2n?1?472n?43， ?47?0，则n≥4， ∴ 从第4项开始?an?的偶数项递增而d2,d4,?,d10均小于2011且d12?2011， ∴ 此时dn?2011， 综上可知dn?2011?n?N*?即Tn?P?2011?n?N*?， 因此李四同学的观点是正确的． 16