3．对数列?an?，规定??an?为数列?an?的一阶差分数列，其中?an?an?1?an(n?N)。
*对自然数k?an??kk?1，规定
k?1??kan?为an)。
?an?的
k阶差分数列，其中
an?1??an??(?k?1（I）已知数列?an?的通项公式an?n?n(n?N),，试判断??an?，??an?是否为等差或
2*2等比数列，为什么？
（II）若数列?an?首项a1?1，且满足?an??an?1?an??2(n?N)，求数列?an?的通
2n*项公式。
（III）对（II）中数列?an?，是否存在等差数列?bn?，使得b1Cn?b2Cn???bnCn?an12n对一切n?N都成立？若存在，求数列?bn?的通项公式；若不存在，则请说明理由。
*解：（I）?an?an?1?an??n?1???n?1???n?n??2n?2，
22∴??an?是首项为4，公差为2的等差数列。
2 ?an?2?n?1??2??2n?2??2,
∴??an?是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。
2 （II）证法一：?an??an?1?an??2，即?an?1??an??an?1?an??2，
即?an?an?2，∴an?1?2an?2,
∵a1?1，∴a2?4?2?2，a3?12?3?2，a4?32?4?2，
猜想：an?n?2n?112nnnn23.
0 证明：ⅰ）当n?1时，a1?1?1?2，猜想成立； ⅱ）假设n?k时，ak?k?2k?1,
kkk?k?1??1 n?k?1时，ak?1?2ak?2?k?2?2??k?1??2 结论也成立,
∴由ⅰ）、ⅱ）可知，an?n?22nn?1.
n 证法二：?an??an?1?an??2，即?an?1??an??an?1?an??2，
即?an?an?2，∴an?1?2an?2,
nn 6
∴
an?12n?1?an212n?12，故?1211?an?是首项为，公差为的等差数列， ?n22?2??n ∴
1an2n???n?1??2n2，故an?n?21n?1。
2nn?1（III）b1Cn?b2Cn???bnCn?an，即 b1Cn?b2Cn???bnCn?n?2当n?1时，b1C1?a1?1，
2,b?121当,3n?时2，3b?C123,1b?Ca?2222?b2 当n?3时，b1C3?猜想bn?n.1b2C?3b3?C3a?3b?
∵1Cn?2Cn?3Cn???nC123nn?nCn?1?Cn?1?Cn?1???Cn?1?n?212n?012n?1?n?1,
∴存在等差数列?bn?，bn?n，使得b1Cn?b2Cn???bnCn?an对一切自然
n?N都成立。
*
4．已知数列?an?中，a1?a?a?2?，对一切n?N，an?0，an?1?*an22?an?1?。
（I）求证：an?2且an?1?an；（II）证明：a1?a2???an?2?n?a?2?。 证明：（1）∵an?1?an22?an?1??0，∴an?1，
2∴ an?2?an?12?an?1?1?2?2??an?1?2?2?an?1?1??0，∴an?2，
若存在ak?2，则ak?1?2，由此可推出ak?2?2,?,a1?2，此与a1?a?2矛盾， 故an?2。 ∵ an?1?an?an?2?an?2?an?1??0，∴ an?1?an。
（2）由（1）得an?2?an?1?22an?1?2an?1?2a?2??n?1， 2an?1?12∴ an?2??an?2?222???a1?22n?1?n???2?，
121412n?1∴ ?a1?2???a2?2?????an?2???a?2??1??????? ? 7
1???a?2??1n2?2a?2?1?1??2a?2，
?????n?12??1?2∴ a1?a2???an?2?n?a?2?。
5．已知数列?an?满足a1?32，且an?3nan?12an?1?n?1?n?2,n?N?。
*（I）求数列{an}的通项公式；
（II）证明：对于一切正整数n，不等式a1a2?an?2n!恒成立。 解：（I）显然an?0，由an?3nan?12an?1?n?1可得
1an?23n?n?13nan?1，即
nan?23?1n?1?， 3an?1也即
nan?1??1?n?1?1??，
3?an?1??n?11?1所以??是首项为?，公比为的等比数列，
33?an?从而有
nan?1??13n，即an?n1?13nn?3nn3?1。 ①
证明：（II）由①得an?，所以有a1a2?an?n!1??1???1???1?2??3??3??1???1?n?3??，
为证a1a2?an?2n!，只需证?1???1??1??1?11??1??。 ② ???2?n?3??3??3?2∵ ?1???1??1?111111??1????1??， ??2?2323??3?333331??1??1?1111111111?1?1?1??1????????1???， ???2??3?233456233??3??3?3333333333???1??1?1????2?3??3?1?111?1??1?????。 ③ ?n?2n3333??猜想有?1?下面用数学归纳法证明：
1当n=1时，③ 式显然成立；
0 8
1??1??02假设当n?k时，③ 式成立，即?1???1?2??3??3??1?111?1??1?????。 ?k?2k3?333?那么当n?k?1时，
1??1??1?1?????2?33????1??1??11???1???11?1??1?????1? ???k??k?1?2k???k?1?333333??????????11?11?111??1?1???2???k??k?1?k?1??2???k?
3?333??33?33111??1?1???2???k?k?1?，
33?33?上式表明当n?k?1时，③ 式也成立。 由1、2可知对一切n?N，③ 式都成立。 利用③ 式得?1???1??1?1????2?3??3?1?111?1??1????? ?n?2n3333??n00*1??1???1????nn3??3??11?1?1??1?1??11?1??， ?1???2???n??1??1??1?????????13?2?2?33?3????22?3?1?3故②式成立，从而结论成立。
6．设二次函数f(x)?x2?x,当x?[n,n?1](n?N*)时,f(x)的所有整数值的个数为g(n) ．
（I）求g(n)的表达式； （II）设an?（III）设bn?2n?3ng(n)g(n)2n32(n?N*),Sn?a1?a2?a3?a4????(?1)n?1an,求Sn；
,Tn?b1?b2???bn.若Tn?l(l?Z),求l的最小值．
2【解析】：（I）当x?[n,n?1](n?N*)时，函数f(x)?x?x的值随x的增大而增大，
∴f(x)的值域为[n?n,n?3n?2](n?N*)，∴g(n)?2n?3(n?N*)．
2n?3ng(n)32222 （II）an??n．
① n为偶数时，
Sn?a1?a2?a3?a4????an?1?an?(1?2)?(3?4)????[(n?1)?n]222222 9
=－[3 + 7 +…+（2n－1）]=－
②当n为奇数时，
Sn?(a1?a2)?(a3?a4)????(an?2?an?1)?Sn?1?an
3?(2n?1)2?n2??n(n?1)2．
=－
n(n?1)2n?1?n2?n(n?1)2．
∴Sn?(?1)（III）由bn?①×
12n(n?1)2．
52?722g(n)2n,得Tn???7223?923???2n?12n?1?2n?32n ①
得
1212Tn?522???)?(2n?12222n?22n?32n?1. ② 22n①－②得Tn?(522n?3n?1?23???)
1 =(52?2n?32n?1)?2(1?1?1212n?1)?72?2n?72n?1．
∴Tn?7?2n?72n．
?l,l?Z，可得l的最小值是7．
则由Tn?7? 7．已知a?=(cos(p2n?72n???骣p÷a//bx),1),b=?f(x),2sin(x)，÷?÷?桫44=12.
数列{an}满足a1，
an+1=f(an)，n?N*。
（Ⅰ）证明：0
12p44-p4（Ⅱ）已知an≥
，证明：an+1-an>；
（Ⅲ）设Tn是数列{an}的前n项和，判断Tn与n-解：（I）∵a//b，∴cos(p2??3的大小，并说明理由.
p4x)?2sin(p4x)f(x)=0.
∴f(x)=sin(x). ∴an+1=f(an)=sin(p2an). （1分）
下面用数学归纳法证明：0
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