第一章 事件与概率
1、对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P（A1）=
115
=（）757（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故
6565
P（A2）=5=()
77(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}
P（A3）=1?P(A1)=1?(
15
) 72、一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：
（1） A=“某指定的一层有两位乘客离开”；
（2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C=“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”.
【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.
24C69（1） P(A)?
106（2） 6个人在十层中任意六层离开，故
6P10P(B)?6
10（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有C110种可能结果，再从
2六人中选二人在该层离开，有C6种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情
况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余
3118层中任一层离开，共有C19C4C8种可能结果；②4人同时离开，有C9种可能结果；
③4个人都不在同一层离开，有P94种可能结果，故
2131146P(C)?C110C6(C9C4C8?C9?P9)/10
（4） D=B.故
6P10P(D)?1?P(B)?1?6
103、两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.
【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x?y|>30.
如图阴影部分所示.
3021P?2?
6044、一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，
计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥.
1C2184C3P(A2)?3?,C735C344P(A3)?3?
C73522 35故 P(A2?A3)?P(A2)?P(A3)?5、设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，
?P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.?
【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC)
=
11113++?= 443124
6、对任意的随机事件A，B，C，试证?
P（AB）+P（AC）?P（BC）≤P(A).? 【证】 P(A)?P[A(B?C)]?P(AB?AC) ?P(AB)?P(AC)?P(ABC) ?P(AB)?P(AC)?P(BC) 7、证明：??域之交仍为??域。 证：设Ft(t?T)是??域，记F??F.
tt?T(i) ??每一Ft，所以???Ft?Tt，即??F.
(ii) A?F，则A?每一Ft，由Ft是??域得A?每一Ft，所以A??F，从而A?F.
tt?T(iii) Ai(i?1,2,?)?F，则诸At必属于每一Ft，由于Ft是??域，所以
?A?每一F，
iti即
?A??Fiit?Tt?F.
∴F是??域。
第二章 条件概率与统计独立性
1、?某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：
（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A={下雨}，B={下雪}.
（1） P(BA)?P(AB)0.1??0.2 P(A)0.5（2） P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.3?0.5?0.1?0.7
2、甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击
中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.
【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3
由全概率公式，得
P(A)??P(A|Bi)P(Bi)
i?03=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+
(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458
3、按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学
生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则A={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P
（A）=0.8，P（A）=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（B|A）=0.9，故由贝叶斯公式知
P(A)P(BA)P(AB)（1）P(AB)? ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA) ?0.2?0.11??0.02702
0.8?0.9?0.2?0.137即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%
(2) P(AB)?P(A)P(BA)P(AB) ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.8?0.14??0.3077
0.8?0.1?0.2?0.913 ?即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%. 4、设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：?
ABC=?，P(A)=P(B)=P(C)< 1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）.
【解】由P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) ?3P(A)?3[P(A)]?故P(A)?29 161311或,按题设P（A）<,故P（A）=. 44245、已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，
且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： （1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率. （2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1） p1?10?Ck?03k10(0.35)k(0.65)10?k?0.5138
(2) p2??Ck?4k10(0.25)k(0.75)10?k?0.2241
6、证明：若P（A｜B）=P(A｜B)，则A，B相互独立.
【证】 P(A|B)即?P(A|B)P(AB)P(AB) ?P(B)P(B)亦即 P(AB)P(B)?P(AB)P(B)
P(AB)[1?P(B)]?[P(A)?P(AB)]P(B)
因此 P(AB)?P(A)P(B) 故A与B相互独立.
7、证明：若P（A|C）≥P(B|C), P(A|C)≥P(B|C)，则P（A）≥P(B). 【证】由P（A|C）≥P(B|C),得
P(AC)P(BC)?,
P(C)P(C)即有 P(AC)?P(BC)
同理由 P(A|C)?P(B|C), 得 P(AC)?P(BC),
故 P(A)?P(AC)?P(AC)?P(BC)?P(BC)?P(B)
第三章 随机变量与分布函数
1、设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律；
（2） X的分布函数并作图； (3)
133P{X?},P{1?X?},P{1?X?},P{1?X?2}.
222【解】
X?0,1,2.3C1322P(X?0)?3?.C15352C112 2C13P(X?1)?3?.C1535C11P(X?2)?13?.3C1535故X的分布律为 X P 0 1 2 22 3512 351 35
（2） 当x≤0时，F（x）=P（X 当0 22 3534 35当1