FY(y)?P{?y?X?y}?P{?y?X?0}?P{0?X?y}?3y， 4fY(y)?38y；
当1≤y<4时， FY(y)?P{?1?X?0}?P{0?X?y}?11?y 24fY(y)?当y≥4时，FY(y)?1，fY(y)?0. 故Y的概率密度为
18y；
?3?8y,0?y?1,??fY(y)?0?1
,1?y?4,?8y???0, 其他.+?01211xdx??xdx?, (2) E(X)=?xfX(x)dx??-?-12044+?012152222E(Y)=E(X)=xf(x)dx?xdx?xdx?), ?-?X?-12?046+?0121723x3dx??x3dx?, E(XY)=E(Y)=?xfX(x)dx??-?-120482故 Cov(X,Y) =E(XY)-E(X)?E(Y)=.
31112(3) F(?,4)?P{X??,Y?4}?P{X??,X?4}
22211 ?P{X??,?2?X?2}?P{?2?X??}
2211 ?P{?1?X??}?.
246、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
?122?,x?y?1,f（x，y）=?π
?其他.?0,试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的. 【解】设D?{(x,y)|x?y?1}.
22E(X)???????????xf(x,y)dxdy?1xdxdy ??πx2?y2?112π1rdrd??0. =??rcos??π00同理E(Y)=0. 而 CovX(Y,?)??????????x?[Ex?()]?y[EY(f)]x(y, xy112π12 ???2xydxdy?π?0?0rsin?cos?rdrd??0, πx2?y?1由此得?XY?0,故X与Y不相关. 下面讨论独立性，当|x|≤1时，fX(x)?1?y2?1?x21?1?x212dy?1?x2. ππ当|y|≤1时，fY(y)??1?1?y212dx?1?y2. ππ显然fX(x)?fY(y)?f(x,y).
故X和Y不是相互独立的.
7、对于任意两事件A和B，0 ρ= P?AB??P(A)?P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)为事件A和B的相关系数.试证： （1） 事件A和B独立的充分必要条件是ρ=0； （2） |ρ|≤1. 【证】（1）由ρ的定义知，ρ=0当且仅当P(AB)??P(A)·P(B)=0. 而这恰好是两事件A、B独立的定义，即ρ=0是A和B独立的充分必要条件. (2) 引入随机变量X与Y为 ???1,若A发生,?1,若B发生,X?? Y?? ???0,若A发生;?0,若B发生.由条件知，X和Y都服从0??1分布，即 11?0?0 Y~? X~?1?P(A)P(A)1?P(B)P(B)??从而有E(X)=P(A),E(Y)=P(B), D(X)=P(A)·P(A),D(Y)=P(B)·P(B), Cov(X,Y)=P(AB)??P(A)·P(B) 所以，事件A和B的相关系数就是随机变量X和Y的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|ρ|≤1. 第五章 极限定理 1、设随机变量X和Y的数学期望是2, 方差分别为1和4, 而相关系数为0.5, 试用切比雪夫不等式估计概率P(|X－Y| ? 6). 解. E(X－Y) = E(X)－E(Y) = 2－2 = 0 D(X－Y) = D(X) + D(Y)－2?XY所以 P(|X?Y|?6)?D(X)D(Y)= 1 + 4－2×0.5×1×2 = 3 D(X?Y)31??. 6236122、某厂有400台同型机器, 各台机器发生故障的概率均为0,02, 假如各台机器相互独立工作, 试求机器出现故障的台数不少于2台的概率. 解. 假设X表示400台机器中发生故障的台数, 所以X～B(400, 0.02) 由棣莫佛－拉普拉斯定理: 1?X?400?0.02? limP??x??n??2??400?0.02?0.98?所以 P(X?2)?1?P(X?1)?1?P??x??e?t22dt??(x) X?8?7??? 400?0.02?0.98??400?0.02?0.98? ? 1－?(－2.5) = ?(2.5) = 0.9938. 3、设供电网中有10000盏灯, 夜晚每一盏灯开着的概率都是0.7, 假设各灯开、关时间彼此无关, 计算同时开着的灯数在6800与7200之间的概率. 解. 假设X表示10000盏灯中开着的灯数, 所以X～B(10000, 0.7) 由棣莫佛－拉普拉斯定理: limP?n??X?70001??x???00.3?0.72??1000???x??e?t22dt??(x) ) 所以 P(6800?X?7200 ?P?6800?7000X?70007200?7000???? 10000?0.3?0.710000?0.3?0.7??10000?0.3?0.7? ? ?(4.36)－?(－4.36) = 2?(4.36)－1 = 2×0.999993－1 = 0.999. 4、在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡 的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求： （1） 保险公司没有利润的概率为多大； （2） 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？ 【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数，则X~B（10000，0.006）. (1) 公司没有利润当且仅当“1000X=10000×12”即“X=120”. 于是所求概率为 P{X?120}?1?120?10000?0.006???? 10000?0.006?0.994?10000?0.006?0.994?59.64)2 ?159.64???60??59.64???12??159.64e?12(60/ ?0.0517?e?30.1811?0(2) 因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X≤60”?于是所求概率为 P{0?X?60}????60?10000?0.006??0?10000?0.006??10000?0.006?0.994??????10000?0.006?0.994?? ??(0)?????60??59.64???0.5. ?0n?5、若Xn的概率分布为???1?11?，试验证相应的分布函数收敛，但矩不收敛。 ?nn????0,当?x?0解： F?P)X?1n(xn?x{???n}当?x1?n。, 0令n?????1,当x?nF)?F(x?)??0,x?0n(x。 ?1,x?0这说明分布函数收敛，但 EXn?1,EX?0,En?X?EX(?n?。当)k?1时， EXk1n?nk?n?nk?1， E(Xk?E(X?1?1n?EXn)n?1)k?(?1)k??1?n???(n?1)k?n 所以当n??时，EXn??，E(Xn?EXn)k??。由此知其中心距，原点矩均不收敛。 6、设Xn独立同分布，P{X2n?2k?}?2?k (k?1,2,?)，则大数定律成立。 ??证：由辛钦大数定律知，这时只要验证EXi存在,EXi??2?k2k?2lnk?k?1?4?lnk。而 k?1 4?lnk?e?ln4lnk?(elnk)?ln4?k?ln4， ?又ln4?1，所以 EX?ln4i??k??，从而大数定律成立。 k?1得 n2P7、若{Xi}是独立同分布、具有有限二阶矩的随机变量序列，试证 iXi???EXi。?n(n?1)i?1证：记EXi?a,DXi??2??，则 nnn?2?22E?iXi??iEXi?a?i?a， ???n(n?1)n(n?1)n(n?1)i?1i?1i?1??利用Xi间的独立性得 nn?2?4D?iXi??2i2?2 ?2??n(n?1)i?1?n(n?1)i?14n(n?1)(2n?1)2(2n?1)?2???2???0(n??)n(n?1)263n(n?1)2由马尔可夫大数定律得 n2PiXi???a?EXi ?n(n?1)i?1