x?0?0,?22?,0?x?1?35 F(x)???34,1?x?2?35?1,x?2?(3)
1122P(X?)?F()?,223533342212P(1?X?)?F()?F(1)???,22353535
33312P(1?X?)?P(X?)?P(1?X?)?,22235342212P(1?X?2)?F(2)?F(1)?P(X?1)????0.3535352、设连续型随机变量X分布函数为
?A?Be?xt,x?0,F（x）=?(??0),
x?0.?0,（1） 求常数A，B；
（2） 求P{X<2}，P{X≥3}； （3） 求分布密度f（x）.
limF(x)?1??A?1?x???【解】（1）由?得?
B??1limF(x)?limF(x)??x?0??x?0?（2） P(X?2)?F(2)?1?e?2?
?3? P(X?3)?1?F(3)?1?(1?e)?e?3?
??e??x,x?0(3) f(x)?F?(x)??
x?0?0,3、设随机变量（X，Y）的分布密度
?Ae?(3x?4y),x?0,y?0,f（x，y）=?
其他.?0,求：（1） 常数A；
（2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1） 由
??????????f(x,y)dxdy????0???0Ae-(3x?4y)dxdy?A?1 12得 A=12?
（2） 由定义，有 F(x,y)???yx????f(u,v)dudv
yy?(3u?4v)?dudv?(1?e?3x)(1?e?4y)??0?012e ????0,???0,y?0,x?0, 其他(3) P{0?X?1,0?Y?2} ???12e0012?(3x?4y)dxdy?(1?e?3)(1?e?8)?0.9499.
4、.设随机变量（X，Y）的概率密度为
?1,y?x,0?x?1,f（x，y）=?
0,其他.?求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.
题4图
【解】fX(x)??????f(x,y)dy
x??1dy?2x,0?x?1, ????x
?其他.?0,fY(y)???????11dx?1?y,?1?y?0,???y??1f(x,y)dx???1dx?1?y,0?y?1,
y?其他.?0,??所以
?1f(x,y)?,|y|?x?1, fY|X(y|x)???2xfX(x)?其他.?0,?1?1?y, y?x?1,?f(x,y)?1 fX|Y(x|y)???,?y?x?1,
fY(y)?1?y?0,其他.??5、设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：Y=1?e?2X在区间（0，1）上服从均匀分布. 【证】X的密度函数为
?2e?2x,x?0 fX(x)??x?0?0,由于P（X>0）=1，故0<1?e?2X<1，即P（0 当y≤0时，FY（y）=0 当y≥1时，FY（y）=1 当0 1?P(X??ln(1?y))2 ??即Y的密度函数为 1?ln(1?y)202e?2xdx?y?1,0?y?1 fY(y)???0,其他即Y~U（0，1） 6、设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为 P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…， P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，…. 证明随机变量Z=X+Y的分布律为 P{Z=i}= ?p(k)q(i?k)，i=0，1，2，…. k?0i【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数， 所以 {Z?i}?{X?Y?i} ?{X?0,Y?i}?{X?1,Y?i?1}???{X?i,Y?0} 于是 P{Z?i}??P{X?k,Y?i?k}X,Y相互独立?P{X?k}?P{Y?i?k} k?0k?0ii ? ?p(k)q(i?k) k?0i第四章 数字特征与特征函数 1、设随机变量X的概率密度为 ?x,0?x?1,?f（x）=?2?x,1?x?2, ?0,其他.?求E（X），D（X）. 【解】E(X)??????xf(x)dx??x2dx??x(2?x)dx 0112123?13??2x? ??x???x???1. 3?1?3?0?E(X2)??2????x2f(x)dx??x3dx??x2(2?x)dx?012127 6故 D(X)?E(X)?[E(X)]?2、设随机变量X的概率密度为 1. 61x??cos,0?x?π,f(x)=?2 2?其他.?0,对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于π/3的次数，求Y2的数学期望。 π?1,X?,??3【解】令 Yi???0,X?π.?3?则Y?(i?1,2,3,4) ?Y~B(4,p).因为 ii?14π/31πππx1p?P{X?}?1?P{X?}及P{X?}??cosdx?, 0333222111所以E(Yi)?,D(Yi)?,E(Y)?4??2, 24211D(Y)?4???1?E(Y2)?(EY)2, 22从而E(Y)?D(Y)?[E(Y)]?1?2?5. 3、设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变 量|X??Y|的方差. 222??1?2???1?2?【解】设Z=X??Y，由于X~N?0,?, ?,Y~N?0,?????2?????????2??且X和Y相互独立，故Z~N（0，1）. 因 D(X?Y)?D(Z)?E(|Z|2)?[E(|Z|)]2 ?E(Z2)?[E(Z)]2, 而 E(Z)?D(Z)?1,E(|Z|)??|z|??2??1?z2/2edz 2π2???z2/22 ?， zedz??0π2π所以 D(|X?Y|)?1?4、试求[0,1]均匀分布的特征函数。 解：p?(x)??2. π?1,x?[0,1]。当t?0时f(t)?1；当t?0时 ?0,x?[0,1]11f(t)??edx?eitx?(eit?1). 0itit01itx15、设随机变量X的概率密度为 ?1?2,?1?x?0,??1fX(x)=?,0?x?2, ?4其他.?0,??令Y=X2，F（x,y）为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求： (1) Y的概率密度fY(y)； (2) Cov(X,Y); (3)F(?1,4). 2解： (1) Y的分布函数为 FY(y)?P{Y?y}?P{X2?y}. 当y≤0时， FY(y)?0，fY(y)?0； 当0＜y＜1时，