高等数学教案 曲线积分与曲面积分
(1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2 ? (2)从点A(a? 0)沿x轴到点B(?a? 0)的直线段? 例3 计算
?L2xydx?x2dy? (1)抛物线y?x上从O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧? (2)抛物线
2
x?y2上从O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧? (3)从O(0? 0)到A(1? 0)? 再到R (1? 1)的有向折线OAB ? 例4? 计算
??x3dx?3zy2dy?x2ydz? 其中?是从点A(3? 2? 1)到点B(0? 0? 0)的直线段
AB?
例5? 设一个质点在M(x? y)处受到力F的作用? F的大小与M到原点O的距离成正比? F
x2?y2?1的方向恒指向原点? 此质点由点A(a? 0)沿椭圆2按逆时针方向移动到点B(0? b)?
ab2求力F所作的功W?
三、两类曲线积分之间的联系 由定义? 得
?LPdx?Qdy??L(Pcos??Qsin?)ds ?L?L ?{P,Q}?{cos?,sin?}ds?F?dr?
其中F?{P? Q}? T?{cos?? sin?}为有向曲线弧L上点(x? y)处单位切向量? dr?Tds?{dx? dy}? 类似地有
??Pdx?Qdy?Rdz???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds ???? ?{P,Q,R}?{cos?,cos?,cos?}ds?F?dr?
其中F?{P? Q? R}? T?{cos?? cos?? cos?}为有向曲线弧?上点(x? y? z)处单们切向量? dr?Tds ?{dx? dy? dz }?
小结
1.第二类曲线积分的定义；
2. 第二类曲线积分的计算方法。
教学方式及教学过程中应注意的问题
在教学过程中要注意第二类曲线积分的定义和计算方法，要结合实例，反复讲解。
师生活动设计
三峡大学高等数学课程建设组
高等数学教案 曲线积分与曲面积分
1. 已知?为折线ABCOA，计算I?dx?dy?ydz
??讲课提纲、板书设计 作业 P200: 3（1）（3）（5）（7），4
§11?3 格林公式及其应用
一、格林公式 单连通与复连通区域?
设D为平面区域? 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D? 则称D为平面单连通区域? 否则称为复连通区域?
对平面区域D的边界曲线L? 我们规定L的正向如下? 当观察者沿L的这个方向行走时? D内在他近处的那一部分总在他的左边? 区域D的边界曲线L的方向?
定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成? 函数P(x? y)及Q(x? y)在D上具有一阶连续偏导数? 则有
??(D?Q?P?)dxdy??Pdx?Qdy?
L?x?y其中L是D的取正向的边界曲线?
简要证明? 仅就D即是X－型的又是Y－型的区域情形进行证明?
设D?{(x? y)|?1(x)?y??2(x)? a?x?b}? 因为
?P连续? 所以由二重积分的计算法有 ?y?Pdxdy?b{?2(x)?P(x,y)dy}dx?b{P[x,?(x)]?P[x,?(x)]}dx? 21???y?a??1(x)?y?aD另一方面? 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有
?Pdx??Pdx??Pdx??P[x,?1(x)]dx??P[x,?2(x)]dx
LL1L2abba ?{P[x,?1(x)]?P[x,?2(x)]}dx? 因此
??ab?Pdxdy?Pdx?
???y?LD三峡大学高等数学课程建设组
高等数学教案 曲线积分与曲面积分
设D?{(x? y)|?1(y)?x??2(y)? c?y?d}? 类似地可证
?Q???xdxdy??LQdx?
D由于D即是X－型的又是Y－型的? 所以以上两式同时成立? 两式合并即得
??Q?P???dxdy??Pdx?Qdy? ???L?x?y?D? 应注意的问题?
对复连通区域D? 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分? 且边界的方向对区域D来说都是正向?
设区域D的边界曲线为L? 取P??y? Q?x? 则由格林公式得 21xdy?ydx?
dxdy?xdy?ydx? 或A?dxdy????L??2?LDD 例1? 椭圆x?a cos? ? y?b sin? 所围成图形的面积A? 分析? 只要
?Q?P?Q??1? 就有??(??P)dxdy???dxdy?A? ?x?y?x?yDD 例2 设L是任意一条分段光滑的闭曲线? 证明
?L2xydx?x2dy?0?
例3? 计算
??e?ydxdy? 其中D是以O(0? 0)? A(1? 1)? B(0? 1)为顶点的三角形闭区域?
D2 分析? 要使
?Q?P?y22??e? 只需P?0? Q?xe?y? ?x?y 例4 计算
xdy?ydx?Lx2?y2? 其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线?
L的方向为逆时针方向?
?y?Qy2?x2?Px22
解? 令P?2? Q?2? 则当x?y?0时? 有? ???x(x2?y2)2?yx?y2x?y2三峡大学高等数学课程建设组
高等数学教案 曲线积分与曲面积分
记L 所围成的闭区域为D? 当(0? 0)?D时? 由格林公式得
xdy?ydx?Lx2?y2?0?
当(0? 0)?D时? 在D内取一圆周l? x2?y2?r 2(r>0)? 由L及l围成了一个复连通区域D 1? 应用格林公式得
xdy?ydxxdy?ydx?Lx2?y2??lx2?y2?0?
其中l的方向取逆时针方向?
2?r2cos2??r2sin2?xdy?ydxxdy?ydxd??2?? ??22 ??于是 ?0Lx2?y2lx?yr2记L 所围成的闭区域为D? 当(0? 0)?D时? 由格林公式得
xdy?ydx?Q?P?(?Lx2?y2???x??y)dxdy?0? D?y?Qy2?x2?Px22
分析? 这里P?2? Q?2? 当x?y?0时? 有? ?222?22?x?yx?yx?y(x?y) 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关?
设G是一个开区域? P(x? y)、Q(x? y)在区域G内具有一阶连续偏导数? 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L 1、L 2? 等式
?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy
12恒成立? 就说曲线积分 设曲线积分的曲线? 则有 因为
?LPdx?Qdy在G内与路径无关? 否则说与路径有关?
1和
?LPdx?Qdy在G内与路径无关? L
L 2是G内任意两条从点A到点B
?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy?
12?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy?0
1212三峡大学高等数学课程建设组
高等数学教案 曲线积分与曲面积分
?
?LPdx?Qdy??L1?2Pdx?Qdy?0??L1?(L2?)Pdx?Qdy?0?
所以有以下结论? 曲线积分
?LPdx?Qdy在G内与路径无关相当于沿G内任意
?LPdx?Qdy等于零?
闭曲线C的曲线积分
定理2 设开区域G是一个单连通域? 函数P(x? y)及Q(x? y)在G内具有一阶连续偏导数? 则曲线积分
?LPdx?Qdy在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）
?P??Q ?y?x的充分必要条件是等式 在G内恒成立? 充分性易证?
若
?P??Q? 则?Q??P?0? 由格林公式? 对任意闭曲线L? 有 ?y?x?x?y
??Q?P?Pdx?Qdy???dxdy?0? ?L????x?y?D? 必要性?
假设存在一点M0?G? 使
?Q?P?Q?P????0? 不妨设?>0? 则由?的连续性? 存在?x?y?x?y?Q?P???? 于是沿邻域U(M0, ?)边界l 的?x?y2M0的一个? 邻域U(M0, ?)? 使在此邻域内有闭曲线积分
?Pdx?Qdy?lU(M0,?)??(?Q?P??)dxdy????2?0? ?x?y2?Q?P??0? ?x?y这与闭曲线积分为零相矛盾? 因此在G内
三峡大学高等数学课程建设组