高等数学教案 曲线积分与曲面积分
?1和?2在xOy面上的投影区域都是Dxy ? x2?y2?1(x?0? y?0)? 于是
??xyzdxdy???xyzdxdy???xyzdxdy
??1?2 ?Dxy??xy1?x2?y2dxdy???xy(?1?x2?y2)dxdy
Dxy12d?r2sin?00 ?2Dxy??xy1?x?ydxdy?2?22??cos?1?r2rdr?2?
15三、两类曲面积分之间的联系
设积分曲面?由方程z?z(x? y)给出的? ?在xOy面上的投影区域为Dxy ? 函数z?z(x? y)在Dxy上具有一阶连续偏导数? 被积函数R(x? y? z)在?上连续? 如果?取上侧? 则有
??R(x,y,z)dxdy???R[x,y,z(x,y)]dxdy?
?Dxy 另一方面? 因上述有向曲面?的法向量的方向余弦为 cos???zx21?zx?z2y? cos???zy21?zx?z2y? cos??1?
221?zx?zy故由对面积的曲面积分计算公式有
??R(x,y,z)cos?dS???R[x,y,z(x,y)]dxdy?
?Dxy由此可见? 有
??R(x,y,z)dxdy???R(x,y,z)cos?dS?
?? 如果?取下侧? 则有
??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy?
?Dxy但这时cos???1? 因此仍有 221?zx?zy三峡大学高等数学课程建设组
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??R(x,y,z)dxdy???R(x,y,z)cos?dS?
??类似地可推得
??P(x,y,z)dydz???P(x,y,z)cos?dS?
????Q(x,y,z)dzdx???P(x,y,z)cos?dS?
??综合起来有
??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)dS?
??其中cos ?、cos ?、cos ?是有向曲面?上点(x? y? z)处的法向量的方向余弦? 两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式?
??A?dS???A?ndS? 或??A?dS???AndS?
????其中A?(P? Q? R)? n?(cos ?? cos ?? cos ?)是有向曲面?上点(x? y? z)处的单位法向量? dS?ndS?(dydz? dzdx? dxdy)? 称为有向曲面元? An为向量A在向量n上的投影? 例3 计算曲面积分
??(z2?x)dydz?zdxdy? 其中?是
?曲面z?(x2?y2)介于平面z?0及z?2之间的部分的下侧? 提示? 曲面上向下的法向量为(x? y? ?1) )
12s? co?x?1? cos??? dS?1?x2?y2dxdy?
1?x2?y21?x2?y2故
??(z2?x)dydz?zdxdy???[(z2?x)(?x)?z]dxdy
?? ?2x?y2?4??{[1(x2?y2)2?x]?(?x)?1(x2?y2)}dxdy
422?2[x2?1(x2?y2)]dxdy??d??(r2cos2??1r2)rdr?8??
0022 ?2x?y2?4?? ?
小结
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高等数学教案 曲线积分与曲面积分
1.两类曲面积分及其联系；
2.常用计算公式及方法，注意：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况。
教学方式及教学过程中应注意的问题
在教学过程中要注意二重积分是第一类曲面积分的特殊情况，两类曲面积分及其联系，要结合实例，反复讲解。
师生活动设计
1.两类曲线积分的定义一个与 ? 的方向无关, 一个与 ?的方向有关,与书中联系公式是否矛盾 ?
2.课后习题：2，3
讲课提纲、板书设计
作业 P228: 3 (1) ,(2) ,(4) ;4
§11? 6 高斯公式
高斯公式
定理1设空间闭区域?是由分片光滑的闭曲面?所围成? 函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在?上具有一阶连续偏导数? 则有
???(??P?Q?R??)dv???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy? ?x?y?z???Q?y??R?z)dv?或
???(??P?x??(Pcos??Qcos??Rcos?)dS?
? 简要证明 设?是一柱体? 上边界曲面为?1? z?z2(x, y)? 下边界曲面为?2? z?z1(x, y)? 侧面为柱面?3? ?1取下侧? ?2取上侧? ?3取外侧? 根据三重积分的计算法? 有
?R ???dv??z?Dxy??dxdy??Rdz
z1(x,y)?zz2(x,y)三峡大学高等数学课程建设组
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?另一方面? 有
Dxy??{R[x,y,z2(x,y)]?R[x,y,z1(x,y)]}dxdy?
??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy?
1?1Dxy2
??R(x,y,z)dxdy???R[x,y,z?2Dxy?3(x,y)]dxdy?
??R(x,y,z)dxdy?0?
以上三式相加? 得
??R(x,y,z)dxdy???{R[x,y,z?Dxy2(x,y)]?R[x,y,z1(x,y)]}dxdy ?
所以
?Rdv?R(x,y,z)dxdy? ????z???? 类似地有
?Pdv?P(x,y,z)dydz? ????x????
?Q????ydv???Q(x,y,z)dzdx?
??把以上三式两端分别相加? 即得高斯公式? 例1 利用高斯公式计算曲面积分
22
(x?y)dxdy?(y?z)xdydz? 其中?为柱面x?y?1???及平面z?0? z?3所围成的空间闭区域?的整个边界曲面的外侧? 解 这里P?(y?z)x? Q?0? R?x?y?
?P?y?z? ?Q?0? ?R?0?
?y?x?z由高斯公式? 有
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??(x?y)dxdy?(y?z)dydz????(y?z)dxdydz????(?sin??z)?d?d?dz
??? ? 例2 计算曲面积分
?02?d???d??(?sin??z)dz??9??
002132
2
2
??(x2cos??y2cos??z2cos?)dS? 其中?为锥面x?y?z介于
?平面z?0及z?h (h>0)之间的部分的下侧? cos?、cos?、cos?是?上点(x, y, z)处的法向量的方向余弦?
解 设?1为z?h(x2?y2?h 2)的上侧? 则?与?1一起构成一个闭曲面? 记它们围成的空间闭区域为?? 由高斯公式得
???(x2cos??y2cos??z2cos?)dS
?2x2?y2?h2??dxdy?hx2?y2(x?y?z)dz?2x2?y2?h2??dxdy?hx2?y2zdz
?14222??h (h?x?y)dxdy??2x2?y2?h2hx2?y2提示?
x2?y2?h2??dxdy?(x?y)dz?0?
而
??(x2cos??y2cos??z2cos?)dS???z2dS???h2dxdy??h4?
?1?1x2?y2?h2因此
??(x2cos??y2cos??z2cos?)dS?2?h4??h4??2?h4?
?11 例3 设函数u(x, y, z)和v(x, y, z)在闭区域?上具有一阶及二阶连续偏导数? 证明
???u?vdxdydz???u?ndS????(?x?x??y?y??z?z)dxdydz?
????v?u?v?u?v?u?v其中?是闭区域?的整个边界曲面?
?v为函数v(x, y, z)沿?的外法线方向的方向导数? 符
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