高等数学教案 曲线积分与曲面积分
根据上述定义面密度为连续函数?(x? y? z)的光滑曲面?的质量M可表示为?(x? y? z)在?上对面积的曲面积分? M???f(x,y,z)dS
?如果?是分片光滑的我们规定函数在?上对面积的曲面积分等于函数在光滑的
各片曲面上对面积的曲面积分之和? 例如设?可分成两片光滑曲面?1及?2(记作???1??2)就规定
?1??2??f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS?
?1?2 对面积的曲面积分的性质? (1)设c 1、c 2为常数? 则
??[c1f(x,y,z)?c2g(x,y,z)]dS?c1??f(x,y,z)dS?c2??g(x,y,z)dS?
??? (2)若曲面?可分成两片光滑曲面?1及?2? 则
??f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS?
??1?2 (3)设在曲面?上f(x? y? z)?g(x? y? z)? 则 (4)
??f(x,y,z)dS???g(x,y,z)dS?
????dS?A? 其中A为曲面?的面积?
? 二、对面积的曲面积分的计算
面密度为f(x? y? z)的物质曲面的质量为M?lim?f(?i,?i,?i)?Si???0i?1n??f(x,y,z)dS?
?另一方面? 如果?由方程z?z(x? y)给出? ?在xOy面上的投影区域为D ? 那么 曲面的面积元素为
2dA?1?zx(x,y)?z2y(x,y)dxdy?
质量元素为
2f[x,y,z(x,y)]dA?f[x,y,z(x,y)]1?zx(x,y)?z2y(x,y)dxdy?
根据元素法? 曲面的质量为
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M?y(x,y)dxdy? ??f[x,y,z(x,y)]1?zx2(x,y)?z2D因此
???2f(x,y,z)dS???f[x,y,z(x,y)]1?zx(x,y)?z2y(x,y)dxdy?
D 化曲面积分为二重积分? 设曲面?由方程z?z(x? y)给出? ?在xOy面上的投影区域为Dxy? 函数z?z(x? y)在Dxy上具有连续偏导数? 被积函数f(x? y? z)在?上连续? 则
y(x,y)dxdy? ??f(x,y,z)dS???f[x,y,z(x,y)]1?zx2(x,y)?z2?Dxy 如果积分曲面?的方程为y?y(z? x)? Dzx为?在zOx面上的投影区域? 则函数f(x? y? z)在?上对面积的曲面积分为
??f(x,y,z)dS???f[x,y(z,x),z]?Dzx221?yz(z,x)?yx(z,x)dzdx?
如果积分曲面?的方程为x?x(y? z)? Dyz为?在yOz面上的投影区域? 则函数f(x? y? z)在?上对面积的曲面积分为
??f(x,y,z)dS???f[x(y,z),y,z]?Dyz21?x2y(y,z)?xz(y,z)dydz?
例1 计算曲面积分
??zdS? 其中?是球面x?y?z?a被平面
2
2
2
2
1?z?h(0?h?a)截出的顶部?
解 ?的方程为z?a2?x2?y2? Dxy ? x2?y2?a2?h2? 因为 zx??y?x? zy??
222222a?x?ya?x?yadxdy?
222a?x?y2 dS?1?zx?z2ydxdy?所以
1dS?a??z??a2?x2?y2dxdy
?Dxy三峡大学高等数学课程建设组
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2?a2?h2 ?a提示?
?0d??0rdr1ln(a2?r2)]a2?h2?2?alna?
?2?a[?0a2?r2h221?zx?z2y2y2xa?1?222?222??
222a?x?ya?x?ya?x?y 例2 计算边界曲面?
??xyzdS? 其中?是由平面x?0? y?0? z?0及x?y?z?1所围成的四面体的整个
? 解 整个边界曲面?在平面x?0、y?0、z?0及x?y?z?1上的部分依次记为?1、?2、?3及?4? 于是
??xyzdS???xyzdS???xyzdS???xyzdS???xyzdS
??1?2?3?4 ?0?0?0???xyzdS????43xy(1?x?y)dxdy
1Dxy ?3xdx提示? ?4? z?1?x?y?
?021?01?x(1?x)3dx?3? y(1?x?y)dy?3?x?06120 dS?1?z? y3dxd?yx?z?ydxd?2小结
1. 对面积的曲面积分的定义和计算
2. 格林公式中的等价条件。
教学方式及教学过程中应注意的问题
在教学过程中要注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式，简化计算的技巧. ，要结合实例，反复讲解。
师生活动设计
课后习题：1，3，7
讲课提纲、板书设计
作业 P218: 4(3); 5(2);6(1), (3), (4);8
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§11? 5 对坐标的曲面积分
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
有向曲面? 通常我们遇到的曲面都是双侧的? 例如由方程z?z(x? y) 表示的曲面分为上侧与下侧? 设n?(cos?? cos?? cos?)为曲面上的法向量? 在曲面的上侧cos??0? 在曲面的下侧cos??0? 闭曲面有内侧与外侧之分?
类似地? 如果曲面的方程为y?y(z? x)?则曲面分为左侧与右侧? 在曲面的右侧cos??0? 在曲面的左侧cos??0? 如果曲面的方程为x?x(y? z)? 则曲面分为前侧与后侧? 在曲面的前侧cos ??0? 在曲面的后侧cos??0?
设?是有向曲面? 在?上取一小块曲面?S? 把?S投影到xOy面上得一投影区域? 这投影区域的面积记为(??)xy?假定?S上各点处的法向量与z轴的夹角?的余弦cos?有相同的符号(即cos?都是正的或都是负的)? 我们规定?S在xOy面上的投影(?S)xy为
cos??0?(??)xy ? (?S)xy???(??)xy cos??0?
?0 cos??0?其中cos??0也就是(??)xy?0的情形? 类似地可以定义?S在yOz面及在zOx面上的投影(?S)yz及(?S)zx?
流向曲面一侧的流量? 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由
v(x? y? z)?(P(x? y? z) ? Q(x? y? z) ? R(x? y? z))
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给出? ?是速度场中的一片有向曲面? 函数P(x? y? z)、Q(x? y? z)、R(x? y? z)都在?上连续? 求在单位时间内流向?指定侧的流体的质量? 即流量??
如果流体流过平面上面积为A的一个闭区域? 且流体在这闭区域上各点处的流速为(常向量)v? 又设n为该平面的单位法向量? 那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为A、斜高为|v|的斜柱体? 当(v?^n)????时? 这斜柱体的体积为
2 A|v|cos??A v?n? 当(v?^n)?故??Av?n? 当(v?^n)??时? 显然流体通过闭区域A的流向n所指一侧的流量?为零? 而Av?n?0,
2?时? Av?n?0? 这时我们仍把Av?n称为流体通过闭区域A流向n所指一侧的
2流量? 它表示流体通过闭区域A实际上流向?n所指一侧? 且流向?n所指一侧的流量为?Av?n? 因此? 不论(v?^n)为何值? 流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量均为Av?n ? 把曲面?分成n小块? ?S1? ?S2? ? ? ?? ?Sn(?Si同时也代表第i小块曲面的面积)? 在?是光滑的和v是连续的前提下? 只要?Si的直径很小? 我们就可以用?Si上任一点(?i, ?i, ?i )处的流速
vi?v(?i, ?i, ?i )?P(?i, ?i, ?i )i?Q(?i, ?i, ?i )j?R(?i, ?i, ?i )k
代替?Si上其它各点处的流速? 以该点(?i, ?i, ?i )处曲面?的单位法向量 ni?cos?i i?cos?i j? cos?i k
代替?Si上其它各点处的单位法向量? 从而得到通过?Si流向指定侧的流量的近似值为 vi?ni?S i (i?1, 2, ? ? ? ,n) 于是? 通过?流向指定侧的流量 ???vi?ni?Si
i?1nn ??[P(?i,?i,?i)cos?i?Q(?i,?i,?i)cos?i?R(?i,?i,?i)cos?i]?Si?
i?1但 cos?i??Si?(?Si)yz ? cos?i??Si?(?Si)zx ? cos?i??Si?(?Si)xy ? 因此上式可以写成
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